Question

3.计算积分 xdydz+ydzdx+zdxdy, Z为锥面 z=(x^2+y^2) 在平面 z=4 下方的部分,

Answer 1

问：3.计算积分 xdydz+ydzdx+zdxdy, Z为锥面 z=(x^2+y^2) 在平面 z=4 下方的部分,

答：.计算积分 xdydz+ydzdx+zdxdy, Z为锥面 z=(x^2+y^2) 在平面 z=4 下方的部分,首先我们需要确定积分区域。由于 Z 为锥面 z=(x^2+y^2)，它在 xoz 和 yoz 平面上的投影分别为圆形，因此我们可以将积分区域设为：D = {(x,y,z) | 0≤z≤4, x^2+y^2≤z}然后我们可以通过对 xy 平面上的圆形进行极坐标变换来对积分进行化简：∬D xdydz+ydzdx+zdxdy= ∫0^4 ∫0^(2π) [(r^2 cosθ) · r + (r sinθ) · r cosθ + (r^2 sinθ) · r] drdθ （将原式转换为极坐标形式）= ∫0^4 ∫0^(2π) [r^3 (cosθ + sinθ cosθ + sinθ)] drdθ= 2π ∫0^4 r^3 (1/2 + 1/2π) dr= π (4^4/2) (1/2 + 1/2π)= 32π/π + 16= 48