Question

limx→2(1/x-2-1/x³-8)

Answer 1

问：limx→2(1/x-2-1/x³-8)

答：原文： Lim x→2(1/x"2"1/x^179"8) = lim x→2((x^179"8"x+2x^179)/(x^179(x"2))) = lim x→2((3x^178"1)/(x^179(x"2))) 现在我们可以尝试直接代入 x=2，但是会发现这样结果是不确定的，因为分母中包含 (x"2) 这个因子，并且分子和分母都是 0 的形式。因此我们需要进一步分析原函数。注意到当 x 趋近于 2 时，(3x^178"1) 与 (x"2) 都趋近于 3×2^2"1=11，因此我们可以将原函数拆分成两部分： Lim x→2((3x^178"1)/(x^179(x"2))) = lim x→2(11/(x^179(x"2))) + lim x→2((3x^178"11)/(x^179(x"2))) 现在第一部分可以直接代入 x=2，得到：Lim x→2(11/(x^179(x"2))) = 11/16 对于第二部分，我们可以使用 L'Hospital 法则计算极限：Lim x→2((3x^178"11)/(x^179(x"2))) = lim x→2((6x)/(3x^178(x"2)+3x(x"2)^178)) = lim x→2(6/(3x(x"2)+3(x"2)^178)) = 1/4 因此原函数的极限为：Lim x→2(1/x"2"1/x^179"8) = 11/16 + 1/4 = 19/16