5.若7阶矩阵A为实对称矩阵, λ 🟰2为其特征方程的3重根,则R(A-2E)=
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实对称矩阵必定是可对角化的，即存在正交矩阵P，使得$P^TP=PP^T=I$且$P^{-1}AP=\Lambda$是对角矩阵，其中$\Lambda$的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
而特征方程的3重根说明有三个线性无关的特征向量对应于特征值$\lambda_2$，设它们为$\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}$，则有$A\vec{v_1}=\lambda_2\vec{v_1}$，$A\vec{v_2}=\lambda_2\vec{v_2}$，$A\vec{v_3}=\lambda_2\vec{v_3}$。
又因为矩阵A是实对称矩阵，所以其特征向量可以选择为单位正交向量组，即$\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}$两两正交且模长为1。
根据矩阵的谱定理，$A=P\Lambda P^T$，从而$A-2E=P\Lambda P^T-2P^TP=P(\Lambda-2E)P^T$。因为$\Lambda$是对角矩阵，所以$\Lambda-2E$也是对角矩阵，其对角线上的元素为$\lambda_2-2$。
而$R(A-2E)$就是矩阵$(A-2E)^{-1}$的秩，因为对角矩阵的逆矩阵对角线上的元素取倒数，所以$(A-2E)^{-1}=P(\Lambda-2E)^{-1}P^T$，其中$(\Lambda-2E)^{-1}$的对角线上的元素为$(\lambda_2-2)^{-1}$。
因此，$R(A-2E)=\operatorname{rank}((A-2E)^{-1})=\operatorname{rank}(P(\Lambda-2E)^{-1}P^T)=\operatorname{rank}(\Lambda-2E)=3$。
咨询记录 · 回答于2023-12-29
5.若7阶矩阵A为实对称矩阵, λ 2为其特征方程的3重根,则R(A-2E)=
亲，问题中提到的实对称矩阵必定是可对角化的，即存在正交矩阵P，使得$P^TP=PP^T=I$且$P^{-1}AP=\Lambda$是对角矩阵，其中$\Lambda$的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
特征方程的3重根说明有三个线性无关的特征向量对应于特征值$\lambda_2$，设它们为$\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}$，则有$A\vec{v_1}=\lambda_2\vec{v_1}$，$A\vec{v_2}=\lambda_2\vec{v_2}$，$A\vec{v_3}=\lambda_2\vec{v_3}$。
又因为矩阵A是实对称矩阵，所以其特征向量可以选择为单位正交向量组，即$\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}$两两正交且模长为1。
根据矩阵的谱定理，$A=P\Lambda P^T$，从而$A-2E=P\Lambda P^T-2P^TP=P(\Lambda-2E)P^T$。因为$\Lambda$是对角矩阵，所以$\Lambda-2E$也是对角矩阵，其对角线上的元素为$\lambda_2-2$。
而$R(A-2E)$就是矩阵$(A-2E)^{-1}$的秩，因为对角矩阵的逆矩阵对角线上的元素取倒数，所以$(A-2E)^{-1}=P(\Lambda-2E)^{-1}P^T$，其中$(\Lambda-2E)^{-1}$的对角线上的元素为$(\lambda_2-2)^{-1}$。
因此，$R(A-2E)=\operatorname{rank}((A-2E)^{-1})=\operatorname{rank}(P(\Lambda-2E)^{-1}P^T)=\operatorname{rank}(\Lambda-2E)=3$。
这个题答案是几呀
填空
不要步骤
R(A - 2E) = 3$
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