Question

16.设随机变量X,Y,Z相互独立,且已知+XN(2,4)+YE(2)+Z~U((1)设W=2X++3XYZ+-Z+5

Answer 1

问：16.设随机变量X,Y,Z相互独立,且已知+XN(2,4)+YE(2)+Z~U((1)设W=2X++3XYZ+-Z+5

答：亲，很高兴为您解答问题~根据提供的信息，我们有以下已知条件：随机变量 X 服从正态分布 N(2, 4)，表示均值为 2，方差为 4 的正态分布。随机变量 Y 服从指数分布 E(2)，表示参数为 2 的指数分布。随机变量 Z 服从均匀分布 U(1)，表示在区间 [0, 1] 上均匀分布。现在我们需要计算随机变量 W，根据给定的公式 W = 2X + Y + 3XYZ - Z + 5。由于 X, Y, Z 相互独立，我们可以分别计算它们的期望和方差，然后代入公式得到 W 的期望和方差。计算 X 的期望： E(X) = 2计算 X 的方差： Var(X) = 4计算 Y 的期望： E(Y) = 1 / λ = 1 / 2 = 0.5计算 Z 的期望： E(Z) = (a + b) / 2 = (0 + 1) / 2 = 0.5计算 W 的期望： E(W) = 2E(X) + E(Y) + 3E(XYZ) - E(Z) + 5由于 X, Y, Z 相互独立，可以计算 E(XYZ) = E(X)E(Y)E(Z)： E(XYZ) = E(X)E(Y)E(Z) = 2 * 0.5 * 0.5 = 0.5代入计算得到 W 的期望： E(W) = 2 * 2 + 0.5 + 3 * 2 * 0.5 - 0.5 + 5 = 12计算 W 的方差： Var(W) = Var(2X + Y + 3XYZ - Z + 5)由于 X, Y, Z 相互独立，可以计算 Var(XYZ) = E(X^2)E(Y^2)E(Z^2)： Var(XYZ) = E(X^2)E(Y^2)E(Z^2) = (Var(X) + E(X)^2)(Var(Y) + E(Y)^2)(Var(Z) + E(Z)^2) = (4 + 2^2)(2 + 0.5^2)(1/12 + 0.5^2) = 4.5/3代入计算得到 W 的方差： Var(W) = Var(2X + Y + 3XYZ - Z + 5) = 2^2Var(X) + Var(Y) + 3^2Var(XYZ) + Var(Z) = 4 * 4 + 4.5/3 + 3^2 * 4.5/3 + 0 = 31.5/3综上所述，随机变量 W 的期望为 12，方差为 31.5/3。