Question

已知 f(x)=2/(2^x+1)+m(m∈R) 是定义在R上的奇函数.(1)求m的值;(2)判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明;(3)若 f(1-a)+f(1-a^2)<0, 求实数a的取值范围.

Answer 1

问：已知 f(x)=2/(2^x+1)+m(m∈R) 是定义在R上的奇函数.(1)求m的值;(2)判断f(x)在R上的单调性,并用定义证明;(3)若 f(1-a)+f(1-a^2)<0, 求实数a的取值范围.

答：(1) 由于 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，即满足 $f(-x) = -f(x)$， 可以将 $x$ 替换为 $-x$，得到： $f(-x) = \frac{2}{2^{-x} + 1} + m$ 将上述等式中的 $x$ 替换为 $-x$，并利用指数运算的性质 $2^{-x} = \frac{1}{2^x}$， 得到： $\frac{2}{1 / (2^x) + 1} + m = \frac{2^x}{2^x + 1} + m$ 由于 $f(x)$ 是奇函数，所以有： $-\frac{2}{2^x + 1} + m = \frac{2^x}{2^x + 1} + m$ 移项整理得到： $2^x - 2 = 0$ 解这个方程得到： $2^x = 2$ $x = 1$ 将 $x = 1$ 代入到 $f(x)$ 的表达式中，得到： $f(1) = \frac{2}{2^1 + 1} + m$ $m = -\frac{1}{3}$ 所以 $m = -\frac{1}{3}$。

答：(2) 要判断 f(x) 在 R 上的单调性，需证明对于任意的 x1 < x2，有 f(x1) < f(x2)。 设 x1 < x2，那么有 -x2 < -x1。因为 f(x) 是奇函数，所以有：f(-x2) = -f(x2)，f(-x1) = -f(x1)。 即 -x2 < -x1 时，有 f(-x2) < f(-x1)。 将 -x2 和 -x1 替换为 x2 和 x1，即 x2 < x1 时，有 f(x2) < f(x1)。 所以 f(x) 在 R 上是递减函数。

答：(3) 要求 $f(1-a) + f(1-a^2) < 0$，需要先求出 $f(1-a)$ 和 $f(1-a^2)$ 的表达式： $f(1-a) = \frac{2}{2^{1-a} + 1} - \frac{1}{3}$ 将 $2^{1-a}$ 写成分数形式，得到： $f(1-a) = \frac{2}{(2/2^a) + 1} - \frac{1}{3}$ $= \frac{2}{(1/2^a+1) + 1} - \frac{1}{3}$ $= \frac{2}{(2/2^a + 2)} - \frac{1}{3}$ $= \frac{2^a}{2 + 2 \times 2^a} - \frac{1}{3}$ $f(1-a^2) = \frac{2}{2^{1-a^2} + 1} - \frac{1}{3}$ 将 $2^{1-a^2}$ 写成分数形式，得到： $f(1-a^2) = \frac{2}{(2/2^{a^2}) + 1} - \frac{1}{3}$ $= \frac{2}{(1/2^{a^2}+1) + 1} - \frac{1}{3}$ $= \frac{2}{(2/2^{a^2} + 2)} - \frac{1}{3}$ $= \frac{2^{a^2}}{2 + 2 \times 2^{a^2}} - \frac{1}{3}$ 所以有： $f(1-a) + f(1-a^2) = \frac{2^a}{2 + 2 \times 2^a} -$