证明实对称矩阵A 负定的充分必要条件是 A 的奇数阶顺序主子式全小于零而偶数 阶顺序主子式全大于零．
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您好，要证明实对称矩阵A负定，需要证明A的所有特征值都小于零。首先，根据Gershgorin圆盘定理，A的所有特征值必须在A的各行各列之和的区域内。由于A是实对称矩阵，所以它的特征值都是实数。其次，根据Sylvester定理，A的奇数阶顺序主子式的符号与A的所有特征值的符号相同，而A的偶数阶顺序主子式的符号与A的所有特征值的符号相反。因此，若A的奇数阶顺序主子式全小于零而偶数阶顺序主子式全大于零，则A的所有特征值都小于零，即A是负定的。反之，若A是负定的，则A的所有特征值都小于零，根据Sylvester定理，A的奇数阶顺序主子式的符号与A的所有特征值的符号相同，而A的偶数阶顺序主子式的符号与A的所有特征值的符号相反。因此，A的奇数阶顺序主子式全小于零而偶数阶顺序主子式全大于零。因此，A的奇数阶顺序主子式全小于零而偶数阶顺序主子式全大于零是实对称矩阵A负定的充分必要条件。
咨询记录 · 回答于2024-01-26
阶顺序主子式全大于零．
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用数学语言证明
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