Question

第四题求高人解答，谢谢。

Answer 1

把第一个方程设为函数f(x)＝0,第二个函数为g(x)＝0，
我们发现g（x）是f（x）的导函数。
在x＝0和x＝x0时，
f（0）＝f（x0）＝0，由罗尔中值定理得

在（0，x0）必有f（x）导函数的零点，即g（x）＝0的实根。

Answer 2

4、a₀xⁿ+a₁xⁿ ͞ ¹+....+aո-1x=0
设 f(x)=a₀xⁿ+a₁xⁿ ͞ ¹+....+aո-1x=x(a₀xⁿ ͞ ¹+a₁xⁿ ͞ ²+....+aո-1)
f(x)=0有根x=0
已知x=x₀为正根
即 a₀x₀ⁿ ͞ ¹+a₁x₀ⁿ ͞ ²+....+aո-1=0
f'(x)=a₀nxⁿ ͞ ¹+a₁(n-1)xⁿ ͞ ²+....+aո-1
现有ξ∈(0，x₀)，f'(ξ)=a₀nξⁿ ͞ ¹+a₁(n-1)ξⁿ ͞ ²+....+aո-1=0