Question

已知f(x)是R上的偶函数，且在（0，∞）上单调递增，并且f(x)<0对一切x∈R成立，试

已知f(x)是R上的偶函数，且在（0，∞）上单调递增，并且f(x)<0对一切x∈R成立，试判断-1/f(x)在（－∞，0）上的单调性。

Answer 1

-1/f(x)在(-∞,0)上单调递减

证明：

任取0<x1<x2，则-x2<-x1<0
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增
∴f(x1)<f(x2)<0
又∵f(x)是R上的偶函数
∴f(x1)=f(-x1), f(x2)=f(-x2)
∴f(-x1)<f(-x2)<0
∴-f(-x1)>-f(x2)>0
∴-1/f(x2)>-1/f(x1)>0
故-1/f(x)在(-∞,0)上单调递减