Question

在三维空间R3中，向量组_____是其正交基

Answer 1

问：在三维空间R3中，向量组_____是其正交基

答：# 第一, 基 如果 $x_{1}B_{1}+x_{2}B_{2}+x_{3}B_{3}=0$ 则 $x_{1}(2a_{1}+2a_{2}-a_{3})+x_{2}(2a_{1}-a_{2}+2a_{3})+x_{3}(a_{1}-2a_{2}-2a_{3})=0$ 即 $(2x_{1}+2x_{2}+x_{3})a_{1}+(2x_{1}-x_{2}-2x_{3})a_{2}+(-x_{1}+2x_{2}-2x_{3})a_{3}=0$ 由于 $\{ a_{1}, a_{2}, a_{3} \}$ 是基, 则 $2x_{1}+2x_{2}+x_{3}=0$ $2x_{1}-x_{2}-2x_{3}=0$ $-x_{1}-2x_{2}-2x_{3}=0$ 解得 $x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$ 所以 $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 线性无关, 所以是基 # 第二, 正交. $==\frac{4}{9}-\frac{2}{9}-\frac{2}{9}=0$ 类似的 $=0 (i \neq j)$ # 第三, 标准. $==\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=1$ 类似的 $==1$ 以上三条说明 $\{ B_{1}, B_{2}, B_{3} \}$ 是一组标准正交基. 注：表示 $g$ 和 $h$ 的内积.