已知数列an满足an+1=2an+4×3的n-1次方,a1=1

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摘要 (1)因为$a_{n+1}=2a_{n}+n-1(n∈N*)$，

所以$a_{n+1}+(n+1)=2(a_{n}+n)(n∈N*)$，

所以数列${a_{n}+n}$是以$a_{1}+1$为首项，$2$为公比的等比数列，

所以$a_{n}+n=2^n$，即$a_{n}=2^n-n$。

(2) $b_{n}=na_{n}=n2^n-n^2$，设$C_{n}=n2^n$，它的前$n$项和为$T_{n}$，

则$T_{n}=1×2+2×2^2+3×2^3+…+n×2^n$，…①

$2T_{n}=1×2^2+2×2^3+3×2^4+…+n×2^{n+1}$…②

②-①得，$T_{n}=-2-(2^2+2^3+…+2^n)+n×2^{n+1}= (n-1)2^{n+1}+2$

所以$S_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}=(n-1)2^{n+1}+2- \frac{1}{6} n(n+1) (2n+1)$。

咨询记录 · 回答于2023-12-25

已知数列an满足an+1=2an+4×3的n-1次方,a1=1

(1) 因为 $a_{n+1} = 2a_n + n - 1$ (其中 $n \in N^*$ )，所以 $a_{n+1} + (n+1) = 2(a_n + n)$ (其中 $n \in N^*$ )。因此，数列 $\{ a_n + n \}$ 是一个以判含 $a_1 + 1$ 为首项、2为公比的等比数列。从而得纳激出 $a_n + n = 2^n$，即 $a_n = 2^n - n$。 (2) $b_n = n \times a_n = n \times (2^n - n^2)$，设 $C_n = n \times 2^n$，它的洞冲袜前 $n$ 项和为 $T_n$。则有： $T_n = 1 \times 2 + 2 \times 2^2 + 3 \times 2^3 + \ldots + n \times 2^n \quad \text{(①)}$ $2T_n = 1 \times 2^2 + 2 \times 2^3 + 3 \times 2^4 + \ldots + n \times 2^{n+1} \quad \text{(②)}$ 从 (②) 式减去 (①) 式，我们得到： $T_n = -2 - (2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n) + n \times 2^{n+1}$ 即 $T_n = (n-1) \times 2^{n+1} + 2$。因此，$S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n = (n-1) \times 2^{n+1} + 2 - \frac{1}{6} \times n(n+1) \times (2n+1)$。

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