Question

在rt三角形ABC中 斜边AC=10 点B为动点 以AC为边长做等边三角形ACD 连接BD 则BD的最大值是多少？

Answer 1

问：在rt三角形ABC中 斜边AC=10 点B为动点 以AC为边长做等边三角形ACD 连接BD 则BD的最大值是多少？

答：首先，由于等边三角形ACD的边长为AC，所以角ACD是一个60度的角。 考虑到BD的最大值对应于三角形ABC中B点到等边三角形ACD的距离最大的情况。这个距离等于线段BD在线段AC的垂线高，因此我们需要确定BD线段的垂足E在AC上的位置。 设BD与AC的交点为E，则AE=10-BE。 在三角形ABD中，由于角ABD和角ACD互补，因此可以使用正弦定理得到： BD / sin(∠BDA) = AD / sin(∠ABD) BD / sin(60度-∠BAE) = (10-BE) / sin(∠BDA) 由于角BDA和角BAC互补，因此sin(∠BDA)=sin(∠BAC)=BC/10。 而角BAE和角BAC互补，因此sin(∠BAE)=sin(∠BAC)=BC/BD。 将这些代入上面的式子中，并将sin(60度-∠BAE)=sin(60度)cos(∠BAE)-cos(60度)sin(∠BAE)=(√3/2)(BD/BC)-(1/2)((10-BD)/BC)代入，得到： BD = 20 / (√3+√3cosθ-sinθ)

答：其中，θ = arctan(√3/2) = π/3 - arctan2，这是一个固定的常数。同时，2 ≈ 1.999，是一个非常接近于2的数。 值得注意的是，sinθ = 2/√7 和 cosθ = √3/√7。通过利用这些信息，我们可以将上式简化为：BD = 20√7 / (4 + √3 + √21) ≈ 7.079。 因此，当点B位于AC的中点时，BD线段的长度达到最大值，约为7.079。