Question

20.已知圆 C:x^2+y^2=4, 点P(2,2)(1):-|||-(1)直线l过点P且与圆C相交于A,B两

Answer 1

问：20.已知圆 C:x^2+y^2=4, 点P(2,2)(1):-|||-(1)直线l过点P且与圆C相交于A,B两

答：首先，将直线 $l$ 的解析式和圆 $C$ 的方程带入，得到方程组：$$\begin{cases}y=mx+c\\x^2+y^2=4\end{cases}$$其中，$m$ 和 $c$ 分别表示直线 $l$ 的斜率和截距。将第一式代入第二式，解得：$$x^2+(mx+c)^2=4$$化简可得：$$(m^2+1)x^2+2mcx+c^2-4=0$$由于直线 $l$ 与圆 $C$ 相交，因此方程有两个不同的实数根，即有解，因此判别式 $\Delta > 0$，即：$$\Delta = 4m^2c^2-4(m^2+1)(c^2-4) > 0$$化简可得：$$(m^2+1)c^2-4m^2 > 0$$$$c^2 > \frac{4m^2}{m^2+1}$$因为 $P(2,2)$ 在直线 $l$ 上，所以有：$$2=2m+c$$即：$$c=2-2m$$将 $c$ 代入上面的不等式中，得到：$$(2-2m)^2 > \frac{4m^2}{m^2+1}$$展开可得：$$5m^4-8m^3-5m^2+16m-4 < 0$$将