Question

16.写出一条与圆 x^2+y^2=1 和曲线 y=x^2+5 都相切的直线的方程:

Answer 1

问：16.写出一条与圆 x^2+y^2=1 和曲线 y=x^2+5 都相切的直线的方程:

答：首先，圆和曲线相切意味着它们在相切点处的切线重合。因此，我们需要找到它们的切线方程并令其相等。圆 x^2+y^2=1 的切线方程为 y = -x/a + b，其中 a 和 b 分别是圆心到切点的距离和切线 y 截距。显然，切点在圆上，因此它满足圆的方程：x^2 + (-x/a + b)^2 = 1展开并整理得：(a^2+1)x^2 - 2abx + b^2-1=0由于切线只有一个交点，因此判别式必须为零：(-2ab)^2 - 4(a^2+1)(b^2-1) = 0化简得：4a^2b^2 + 4a^2 - 4b^2 = 0移项并除以 4a^2：b^2 - b/a + 1/(4a^2) = 0根据平方差公式，我们有：(b - 1/2a)^2 = 1 - 1/(4a^2)由于切线过曲线 y=x^2+5，因此切点的坐标必须满足：x^2 + y = x^2 + 5因此切点的 y 坐标为 5。将这个值代入上面的方程，解得：b = 5 + 2a 或 b = 5 - 2a因此，我们有两条切线：y = -x/a + (5 + 2a)或y = -x/a + (5 - 2a)现在让我们将这些切线与曲线相等。代入曲线的方程并整理得：x^2 + (-x/a + (5 + 2a))^2 = x^4 + 10x^2 + 25 + 4a^2x^2化简得：x^4 + (4a^2-10)x^2 + (4a+5)^2-25 = 0根据相切条件，这个方程必有一个重根，因此判别式为零：(-10+4a^2)^2 - 4(4a+5)^2 + 100 = 0展开并整理得：16a^4 + 64a^3 + 16a^2 - 208a - 75 = 0解这个方程得到两个实根：a ≈ -1.152 或 a ≈ 0.434分别代入切线方程得到：y ≈ -0.13x + 4.7或y ≈ 2.77x + 5.2因此，两条与圆 x^2+y^2=1 和曲线 y=x^2+5 都相切的直线分别为 y ≈ -0.13x + 4.7 和 y ≈ 2.77x + 5.2。

答：亲，好了。您看看哈。