Question

1到1000000中有多少个数能被11，19，61，67中至少三个数整除？

Answer 1

问：1到1000000中有多少个数能被11，19，61，67中至少三个数整除？

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦答：在1到1000000中，有90000个数能被11，19，61，67中至少三个数整除。

答：根据容斥原理，能被11、19、61、67中至少三个数整除的数的个数等于：被11、19、61、67中至少一个数整除的数的个数减去被11、19、61、67中恰好两个数整除的数的个数加上被11、19、61、67中恰好三个数整除的数的个数。 首先，能被11整除的数的个数为：$\left\lfloor\frac{1000000}{11}\right\rfloor=90909$。同理，能被19、61、67整除的数的个数分别为：$\left\lfloor\frac{1000000}{19}\right\rfloor=52631$，$\left\lfloor\frac{1000000}{61}\right\rfloor=16393$，$\left\lfloor\frac{1000000}{67}\right\rfloor=14925$。 其次，能被11和19同时整除的数的个数为：$\left\lfloor\frac{1000000}{11\times19}\right\rfloor=4736$。同理，能被11和61、11和67、19和61、19和67、61和67同时整除的数的个数分别为：$\left\lfloor\frac{1000000}{11\times61}\right\rfloor=1492$，$\left\lfloor\frac{1000000}{11\times67}\right\rfloor=1348$，$\left\lfloor\frac{1000000}{19\times61}\right\rfloor=872$，$\left\lfloor\frac{1000000}{19\times67}\right\rfloor=795$，$\left\lfloor\frac{1000000}{61\times67}\right\rfloor=235$。 最后，能同时被11、19、61、67整除的数的个数为：$\left\lfloor\frac{1000000}{11\times19\times61\times67}\right\rfloor=1$。 因此，能被11、19、61、67中至少一个数整除的数的个数为：$90909+52631+16393+14925=174858$。能被11、19、61、67中恰好两个数整除的数的个数为：$4736+1492+1348+8"。

答：可以使用容斥原理来解决这个问题。首先，我们可以计算出能被11、19、61、67整除的数字个数，分别为： * 能被11整除的数字个数：$1000000\div11=90909$ * 能被19整除的数字个数：$1000000\div19=52631$ * 能被61整除的数字个数：$1000000\div61=16393$ * 能被67整除的数字个数：$1000000\div67=14925$ 接下来，我们需要计算能被其中两个数整除的数字个数，以及能被其中一个数整除的数字个数。 * 能被其中两个数整除的数字个数可以使用组合数计算： + 能被11和19整除的数字个数：$1000000\div(11\times19)=4876$ + 能被11和61整除的数字个数：$1000000\div(11\times61)=1495$ + 能被11和67整除的数字个数：$1000000\div(11\times67)=1363$ + 能被19和61整除的数字个数：$1000000\div(19\times61)=883$ + 能被19和67整除的数字个数：$1000000\div(19\times67)=777$ + 能被61和67整除的数字个数：$1000000\div(61\times67)=227$ * 能被其中一个数整除的数字个数可以使用原来的计算方式进行计算，分别为： + 能被11整除的数字个数：$90909$ + 能被19整除的数字个数：$52631$ + 能被61整除的数字个数：$16393$ + 能被67整除的数字个数：$14925$ 最后，根据容斥原理，我们可以计算出能被至少三个数整除的数字个数： $$\begin{aligned} & 90909+52631+16393+14925 \\ & -4876-1495-1363-883-777-227 \\ & +90909+52631+16393+14925 \\ & =222131 \end{aligned}$$ 因此，1到100000中有222131个数能被11，19，61，67中至少三个数整除。