Question

设x1,x2为取自正态总体N(0，σ^2)的一个样本，证明:统计量x1/x2与√(x1^2+x2^2)相互独立

Answer 1

问：设x1,x2为取自正态总体N(0，σ^2)的一个样本，证明:统计量x1/x2与√(x1^2+x2^2)相互独立

答：为了证明统计量$x_1/x_2$与$\sqrt{x_1^2+x_2^2}$相互独立，需要证明它们的协方差为0。即证明$Cov(x_1/x_2,\sqrt{x_1^2+x_2^2})=0$。 根据协方差的定义，有： $$Cov(x_1/x_2,\sqrt{x_1^2+x_2^2})=E\left[\left(\frac{x_1}{x_2}-E\left(\frac{x_1}{x_2}\right)\right)\left(\sqrt{x_1^2+x_2^2}-E(\sqrt{x_1^2+x_2^2})\right)\right]$$ 由于$x_1$和$x_2$均来自正态总体，因此$x_1$和$x_2$的线性组合也是正态分布的。因此，$x_1/x_2$也是正态分布的。同时，由于$x_1$和$x_2$独立，因此$x_1^2$和$x_2^2$也是独立的。因此，$\sqrt{x_1^2+x_2^2}$也是正态分布的。 因此，$E(x_1/x_2)=E(\sqrt{x_1^2+x_2^2})=0$，因为正态分布的均值为0。 因此： $$Cov(x_1/x_2,\sqrt{x_1^2+x_2^2})=E\left(\frac{x_1}{x_2}\sqrt{x_1^2+x_2^2}\right)$$ 接下来，我们需要计算上述期望的值。为了简化计算，我们可以将$x_1$和$x_2$转化为极坐标系下的变量$r$和$\theta$： $$x_1=r\cos\theta$$ $$x_2=r\sin\theta$$ 因此，有： $$\frac{x_1}{x_2}=\frac{r\cos\theta}{r\sin\theta}=\tan\theta$$ $$\sqrt{x_1^2+x_2^2}=\sqrt{r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta}=r$$ 因此，$Cov(x_1/x_2,\sqrt{x_1^2+x_2^2})$可以表示为： $$Cov(x_1/x_2,\sqrt{x_1^2+x_2^2})=E(\tan\theta\times r)$$

答：根据极坐标系下的变量的概率密度函数，有： $$f(r,\theta)=\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left[-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right]$$ 因此，$E(\tan\theta\times r)$可以表示为： $$E(\tan\theta\times r)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\tan\theta\times r\times f(r,\theta)d\theta dr$$ 对上式中的积分式进行极坐标变换，有： $$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\tan\theta\times r\times f(r,\theta)d\theta dr=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\tan\theta\times r\times\frac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left[-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right]d\theta dr$$ 对上式中的积分式进行变量替换，令$t=\tan\theta$，则有： $$\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}t\times\frac{r}{1+t^2}\times\frac{1}{\pi\sigma^2}\exp\left[-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right]\frac{dt}{1+t^2}dr$$ 对上式中的积分式进行积分，得到： $$E(\tan\theta\times r)=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\pi\sigma^2}\exp\left[-\frac{r^2}{2\sigma^2}\right]\frac{1}{2}\ln(1+t^2)\Bigg|_{0}^{\infty}dr=0$$ 因此，$Cov(x_1/x_2,\sqrt{x_1^2+x_2^2})=0$，即$x_1/x_2$与$\sqrt{x_1^2+x_2^2}$相互独立。