Question

已知函数f(x)在x=1处可导,且+lim_(x→0)(f(e^(x^2))-3f(1+sin^2x))/(x^2)=2

Answer 1

问：已知函数f(x)在x=1处可导,且+lim_(x→0)(f(e^(x^2))-3f(1+sin^2x))/(x^2)=2

答：亲，您好很高兴为您解答已知函数f(x)在x=1处可导,且+lim_(x→0)(f(e^(x^2))-3f(1+sin^2x))/(x^2)=2计算过程如下：根据题目所给的式子，我们可以利用导数的定义式来进行求解：lim_(x→0)(f(e^(x^2))-3f(1+sin^2x))/(x^2)= lim_(x→0)((f(e^(x^2))-f(1))/x^2 - 3(f(1)-f(1+sin^2x))/x^2)= lim_(x→0)((f(e^(x^2))-f(1))/x^2) - 3 lim_(x→0)((f(1)-f(1+sin^2x))/x^2)由于题目中给出了在x=1处可导，因此我们可以利用可导的性质对上式中的两个极限进行求解，得到：lim_(x→0)((f(e^(x^2))-f(1))/x^2) = f'(1) lim_(x→0)((e^(x^2)-1)/x^2) = f'(1)lim_(x→0)((f(1)-f(1+sin^2x))/x^2) = f'(1) lim_(x→0)((1-cos^2x)/x^2) = f'(1)因此，原式可以简化为：f'(1) - 3 f'(1) = -2解得：f'(1) = 1因此，函数f(x)在x=1处的导数为1。

答：拓展补充：函数在数学中是两不为空集的集合间的一种对应关系：输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素哦。函数定义通常分为传统定义和近代定义，前者从运动变化的观点出发，而后者从集合、映射的观点出发的哦。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f哦。