Question

3.(2023全国统考高考真题)设 a(0,1), 若函数 f(x)=a^x+(1+a)^x 在(0,+) 上单

Answer 1

问：3.(2023全国统考高考真题)设 a(0,1), 若函数 f(x)=a^x+(1+a)^x 在 (0,+) 上单

答：首先，我们计算该函数的斜率。根据指数函数的性质，函数 f(x) 的斜率可以通过取对数来得到。我们令 y = f(x)，则有：ln(y) = ln(a^x + (1+a)^x)令 u = a^x，v = (1+a)^x，则有：u + v = y对上述方程两边同时取对数，得到：ln(u + v) = ln(y)通过链式法则，我们可以得到左边的导数：1/(u+v) * (du/dx + dv/dx) = 1/y * dy/dx因此，dy/dx = (u+v)/(y*ln(a)*(du/dx + dv/dx))由于 u = a^x，我们有 du/dx = ln(a)*a^x由于 v = (1+a)^x，我们有 dv/dx = ln(1+a)*(1+a)^x所以，dy/dx = (a^x + (1+a)^x) / (ln(a)*(ln(a)*a^x + ln(1+a)*(1+a)^x))我们可以看到，dy/dx 的函数形式与 f(x) 相同，但是系数变为了 1/ln(a)。也就是说，dy/dx 在任意点的值等于 f(x) 在相同点的值乘以 1/ln

答：我们可以看到，dy/dx 的函数形式与 f(x) 相同，但是系数变为了 1/ln(a)。也就是说，dy/dx 在任意点的值等于 f(x) 在相同点的值乘以 1/ln(a)。根据题目中给出的条件 a(0,1)，我们可以看到 a 的取值范围是 (0,1)。在这个范围内，f(x) 是一个递减函数。另外需要注意的是，当 a = 1 时，函数 f(x) 等于 2。除此以外，当 a > 1 时，f(x) 趋近于正无穷大；当 0 < a 1 时，f(x) 趋近于 0。综上所述，函数 f(x) 在 (0,+) 上的相关信息是：在该区间内是一个递减函数，在 a = 1 时取得最大值 2，当 a > 1 时趋近于正无穷大，当 0 < a < 1 时趋近于 0。