Question

基本不等式公式链

Answer 1

基本不等式公式链是指一系列用于证明各种不等式的公式。这些公式通常涉及到平均值和均方差的概念。不等式论在数学中是一个非常重要的研究领域，对于统计推断、凸优化问题有着广泛的应用。其中基本不等式公式链是最基础的一类不等式公式，也是各种高层次不等式证明的基础。
基本不等式公式链从两个特殊的不等式开始，这两个不等式是均值不等式和几何平均数和算术平均数之间的关系。均值不等式是指对于具有正数元素的任何有限集，其算术平均数一定大于或等于几何平均数。这个不等式可以通过证明对于任何平均数的变换，均值不变而几何平均数不减来证明。
均值不等式被扩展到三个或更多的变量组成的不等式，称为广义或者Hölder不等式，其形式如下：设有n个正数$x_1, x_2, \cdots, x_n$和对应的指数$p_1, p_2, \cdots, p_n$，满足$\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{p_i}=1$，则有$$\prod\limits_{i=1}^{n}x_i^{\frac{p_i}{\sum\limits_{j=1}^np_j}}\leq \sum\limits_{i=1}^n\frac{x_i}{n}$$
高斯不等式是基本不等式之一，它表示了正实数集合的和的平方与平方和的关系，即： 设$x_1, x_2, \cdots, x_n \geq 0$，那么有$$(\sum\limits_{i=1}^n x_i)^2\leq n \sum\limits_{i=1}^n x_i^2$$ 高斯不等式可以通过将不等式右边的和表示出来，转化为非负二次多项式的形式，然后通过计算极小值来证明。
柯西不等式是用于内积空间的不等式。设$x,y$是内积空间V的任意两个元素，则有$$\langle x,y\rangle ^2\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y \rangle$$ 这个不等式可以看作将内积空间中两个元素间距离的平方与它们自身长度的乘积进行了比较。
以上是基本不等式公式链的一些基本内容，还有一些其他的不等式也是基于这些基本不等式得出的。应用到实际问题当中，不等式论有很多具体的应用，如概率推断中的Chebyshev不等式，优化中的KKT条件等等。