Question

极值的第一充分条件的证明采用了什么方法

Answer 1

问：极值的第一充分条件的证明采用了什么方法

答：极值的第一充分条件的证明通常采用导数的方法。

答：简单来说，如果一个函数在某一点处取得了极值，那么这个函数在该点的导数应当为零。

答：反过来，如果一个函数在某一点处的导数为零，那么该点就有可能是函数的极值点。通过对函数求导并将导数等于零的点带回原函数中进行验证，就可以确定该点是否为极值点。

问：极值的第一充分条件的证明采用了什么方法具有什么特色

答：亲，其特色在于能够将极值问题转化为函数的导数问题，从而更加简单直观地判断函数是否有极值点。此外，导数法还能够有效地解决一些特殊形式的函数极值问题，比如在一定区间内单调的函数的极值问题和含有多个变量的函数的极值问题等。因此，在高等数学的教学和研究中，导数法经常被用于极值问题的讨论和证明。

问：一元函数的极值能否讨论二元函数的极值，生活和实际有什么困难

答：亲，一元函数的极值和二元函数的极值是两个不同的概念，因此不能直接讨论二元函数的极值。 一元函数的极值是指函数在某一段区间内取得的最大值或最小值，可以通过导数为零或者导数不存在的点来确定极值。 而二元函数的极值是指函数在二元平面上某一点处取得的最大值或最小值，可以通过偏导数为零或者偏导数不存在的点来确定极值。

答：虽然两种极值都与极点有关，但是讨论二元函数的极值需要考虑两个自变量的变化，而一元函数只需要考虑一个自变量的变化。因此，它们是不可混淆的两个概念。

问：二元函数极值求法给出一个实际问题和解决过程

答：实际问题：假设一家公司要生产一个长方形盒子，盒子的底面由两个平行四边形构成，其中一个平行四边形的底边长为x，高为y，另一个平行四边形的底边长为z，高为h，现在要求盒子的体积最大，求x、y、z、h的取值。

答：亲，这是问题

答：解决过程：1.建立数学模型：盒子的体积V为两个平行四边形的面积之和乘以盒子的高度h，即：V = (xy + zh)h所以问题就转化为求函数V(x,y,z,h)的极值。

答：2.求偏导数：对V(x,y,z,h)求x、y、z、h的偏导数得：Vx = yhVy = xhVz = h^2Vh = z + 2yh

答：3.解方程组：当偏导数都为0时，V(x,y,z,h)取得极值，即：yh = 0xh = 0h^2 = 0z + 2yh = 0由第一、二个方程，得y=0或h=0由第三个方程，得h=0由第四个方程，代入得z=0综上所述，得(x,y,z,h)的取值组合有：(0, 0, 0, h)(0, y, 0, 0)(x, 0, z, 0)其中，(0, 0, 0, h)是不符合实际情况的，所以只考虑另一个三元组。

答：4.求最优解：根据约束条件，可知y=z，所以V = y(x+z)h，代入得：V = y(x+z)(h-y/2)令Vk = y(x+z)(h-y/2)，则Vk = 0时, y=0或h=0；对于Vk，令其关于y求导数, 得：Vk' = x+z-y令其为0，得到y的最大值为 x+z. 所以，当y=x+z时，V取得最大值。因此，当x+z被确定时，y= z，V(x,y,z,h)的最大值为：Vmax = (x+z)z(h-z/2)至此，原问题得到了解决，当x+z确定时，通过极值求解方法可以求得相应的y、h取值，使得盒子的体积最大。