设 f(x)在[0,1] 上连续、在(0,1)内可导、且f(1)=0、证明方程 2xf(x)+x²f′(x)=0在(0,1),至少有一个实根.

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摘要你好，根据题意，我们可以使用罗尔定理来证明。首先，根据题意可得 $f(0)=0$，因为 $f(1)=0$。接下来，我们考虑 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值和最小值。由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，所以 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上一定有最大值和最小值，设最大值为 $M$，最小值为 $m$，即：$$m\leq f(x) \leq M,\quad x \in [0,1]$$当 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上取得最大值或最小值时，$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内必然存在一个临界点，使得 $f'(x)=0$。因此，我们可以找到一个 $c \in (0,1)$，使得 $f'(c)=0$。根据罗尔定理，我们可以找到一个 $d \in (0,c)$ 或 $d \in (c,1)$，使得 $f'(d)=0$。因为 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 内可导，所以根据导数的介值定理，$f'(x)$ 在 $(0,1)$ 内取遍所有介于 $f'(0)$ 和 $f'(c)$ 之间的值。因此，当 $f'(0)$ 和 $f'(c)$ 符号相同时，根据零点定理，方程 $f'(x)=0$ 在 $(0,c)$ 内至少有一个实根。当 $f'(c)$ 和 $f'(1)$ 符号相同时，根据零点定理，方程 $f'(x)=0$ 在 $(c,1)$ 内至少有一个实根。无论哪种情况，都有至少一个实根，使得 $f'(x)=0$。根据题意，方程 $2xf(x)+x^2f'(x)=0$ 可以化简为 $f(x)=-\frac{x}{2}f'(x)$。因此，当 $f'(x)=0$ 时，$f(x)$ 必定为 $0$。因此，方程 $2xf(x)+x^2f'(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。

咨询记录 · 回答于2023-05-26

2xf(x)+x²f′(x)=0在(0,1),至少有一个实根.

设 f(x)在[0,1] 上连续、在(0,1)内可导、且f(1)=0、证明方程

2xf(x)+x²f′(x)=0在(0,1),至少有一个实根.

设 f(x)在[0,1] 上连续、在(0,1)内可导、且f(1)=0、证明方程

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