Question

f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)+f(1)=1周期性

Answer 1

问：f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)+f(1)=1周期性

答：亲，您好哈。很高兴为您解答这个问题：设函数f(x)具有周期T，则对于所有的x和y，有：f(x+T+y)+f(x+T-y)=f(x+T)f(y)+f(1)因为f(x+T)=f(x)，所以：[f(x+y)+f(x-y)]+[f(y+x)+f(y-x)]=f(x)f(y)+f(1)即2f(x+y)=f(x)f(y)令x=y=0，得到：2f(0)=f^2(0)+f(1)整理可得：f^2(0)-2f(0)+f(1)=0根据二次方程的解的公式，有：f(0)=1或f(0)-f(1)=0当f(0)=1时，由f(x+T)=f(x)可知：f(y)=1/2 [f(x+y)+f(x-y)] = constant, 其中constant 是可以任意取值的常数。当f(0)=f(1)时，f(1)=2f(0)=f(2)=2f(1)即：f(1)=f(2)=2f(1)所以有f(1)=f(2)=...=f(k)=...，即对于所有的k，有f(k)=f(1)，因此f(x)是一个常数函数。如果f(x)具有周期T，则它要么是一个常数函数，要么满足2f(x+y)=f(x)f(y)。其中常数函数是一种特殊形式的周期函数，周期为任何正实数。