Question

∫0到1dx∫二分之根号y到根号yx的平方乘以y的平方dx这个二次积分如何交换积分次

Answer 1

问：∫0到1dx∫二分之根号y到根号yx的平方乘以y的平方dx这个二次积分如何交换积分次

答：∫0到1dx∫二分之根号y到根号yx的平方乘以y的平方dx这个二次积分如何交换积分次回答：首先，把被积函数中的 dx 和 dy 分开来，即∫0^1 dx ∫√(y/2)^(√y) x^2 y^2 dx 接下来，对于内层积分，我们需要计算：∫√(y/2)^(√y) x^2 dx进行变量代换，令 u = x^3，那么有 du = 3x^2 dx，从而可以得到：∫√(y/2)^(√y) x^2 dx = (1/3) ∫√(y/2)^(√y) (x^3)^(2/3) dx = (1/3) ∫u^(2/3) du = (1/3) [u^(5/3) / (5/3)] = (1/5) x^(5/3) ∣∣√(y/2)^(√y) = (1/5) (√y)^(5/3) - (1/5) (√(y/2))^(5/3)将上述结果带入原函数，得到：∫0^1 (√y)^(5/3) - (√(y/2))^(5/3) y^2 / 5 dy接下来，对于外层积分，我们需要计算：∫0^1 (√y)^(5/3) - (√(y/2))^(5/3) y^2 / 5 dy进行变量替换，令 u = y^(1/3)，那么有：dy = 3u^2 du从而可以得到：∫0^1 (√y)^(5/3) - (√(y/2))^(5/3) y^2 / 5 dy= (3/5) ∫0^1 u^5 - (1/2)^(5/3) u^5 du= (3/5) [u^(6/3) / 6 - (1/2)^(5/3) u^(6/3) / 6] ∣∣0^1= (3/30) - (1/60)= 1/20因此，原函数的积分值为 1/20。