Question

用根值审敛法判别下列级数的敛散性: ∑_(n=1)^∞(n/3n-1)^2n-1

Answer 1

问：用根值审敛法判别下列级数的敛散性: ∑_(n=1)^∞(n/3n-1)^2n-1

答：亲亲您好，很高兴为您解答哦首先，根值审敛法的公式为:lim⁡〖(a_n)^1/n 〗对于给定的级数 ∑a_n，如果 lim⁡〖(a_n)^1/n 〗n 〗>1，则级数发散；如果 lim⁡〖(a_n)^1/n 〗=1，则根值审敛法不确定。现在来计算题目中给出的级数的根值：lim⁡〖(n/3n-1)^(2n-1) 〗^(1/n)= lim⁡(n^(2n-1)/(3n-1)^(2n-1))^(1/n)= lim⁡(n/3n-1)^(2-1/n)= lim⁡(3n-1)/n ^(1/n-2)注意到当 n → ∞ 时，3n-1/n → 3，所以有lim⁡(3n-1)/n ^(1/n-2) = lim⁡(3^(1/n))(n/3n-1)^(1-2/n) = 3×1^(1-2) = 3根据根值审敛法的原理，因为 lim⁡〖(n/3n-1)^(2n-1) 〗^(1/n)=3>1，所以原级数发散。