Question

用柱面坐标计算三重积分∫∫∫(x^2+y^2)^1/2dxdydz其中是由曲面z=2-x^2-y^

Answer 1

问：用柱面坐标计算三重积分∫∫∫(x^2+y^2)^1/2dxdydz其中是由曲面z=2-x^2-y^

答：首先，曲面 z=2-x^2-y^2 可以转化为柱面坐标下的形式：z=2-r^2，其中 r=(x^2+y^2)^1/2因此，该空间的积分限定区域可以表示为：0 ≤ r ≤ √(2-z)0 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ z ≤ 2-r^2接下来，我们需要将积分被积函数从直角坐标系下的形式转化为柱面坐标下的形式：(x^2+y^2)^1/2 = r因此，积分被积函数可以表示为：r^(3/2)

答：然后，我们可以列出完整的三重积分式：∫∫∫r^(3/2)dzdrdθ

答：其中积分限定区域为：0 ≤ r ≤ √(2-z)0 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ z ≤ 2-r^2接下来，我们可以逐步计算出该三重积分的结果。