Question

16.如图7.在菱形ABCD中,A=60*,AB=4,点E在边AB上,EBC绕点C顺时转60,点E落在BD

Answer 1

问：16.如图7.在菱形ABCD中,A=60*,AB=4,点E在边AB上,EBC绕点C顺时转60,点E落在BD

答：~~很荣幸为您解答，感谢您的耐心等待， 16. 解：(1)如图，连接AC。 (2)证明： ∵四边形ABCD是菱形， ∴$\angle A = \angle BCD = 60^\circ$，AB=BC=CD=AD， ∴△ABC和△BDC都是等边三角形， ∴AB=BC=CD=BD，∠ABC=∠DBC=∠ACB=∠BDC=60^\circ， ∵∠EBC绕点C顺时转$60^\circ$，点E落在BD上， ∴∠E′BC=∠EBC=60^\circ， ∴∠ABE′=∠DBC"∠E′BC=60^\circ"60^\circ=0^\circ， ∴AB平分∠EE′B。 (3)∵四边形ABCD是菱形，AB=4$， ∴AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，AC=2OA$， ∴OB=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2} \times 4 = 2$， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA=$ \sqrt{AB^{2}-OB^{2}} = \sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$， ∴AC=2OA=4√3。

答：上，求BD的长。 解法一：利用正弦定理 由于$\angle AEB=\angle BEC=60^\circ$，所以$\triangle AEB$和$\triangle BEC$都是等边三角形。 设BD=xBD=x，则AD=BC=2xAD=BC=2x，AE=EB=4-xAE=EB=4-x。 应用正弦定理于$\triangle AEB$和$\triangle BEC$，得： $\begin{cases} \dfrac{4-x}{\sin 60^\circ}=\dfrac{x}{\sin 120^\circ} \\ \dfrac{x}{\sin 60^\circ}=\dfrac{4-x}{\sin 60^\circ}+\dfrac{2x}{\sin 120^\circ} \end{cases}$ 化简后可得： $x=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$ BD=2x=\dfrac{8\sqrt{3}}{3} 解法二：利用相似三角形 设BD=xBD=x，连接ACAC，交BDBD于点FFF。 则$\triangle AFB$和$\triangle CFB$是相似三角形，所以有： $\dfrac{AF}{CF}=\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{1}{2}$ CF=2AF CB=2AB 又因为$\angle CFE=\angle AFE+\angle AFB+\angle BFC=60^\circ+60^\circ+120^\circ=240^\circ$，所以$\angle CFB=60^\circ$，从而$\triangle CFB$是等边三角形。