将 f(z)=e^z/(z-1) 展开成z的幂级数,并指出收敛半径
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我们可以使用留数法来求解这个幂级数。
首先，我们需要确定展开点 $z_0$，在本例中，$z=1$ 是 f(z) 的一个极点，因此我们选取 $z_0=1$ 作为展开点。
然后，我们将 f(z) 展开成如下形式：
$$f(z)=\frac{e^z}{z-1}=\frac{e^{z-1}}{(z-1)+(1-1)}=\frac{e^{z-1}}{z-1}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{z-1}}$$
接下来，我们使用泰勒公式求解 $e^{z-1}$ 和 $\frac{1}{1+\frac{1}{z-1}}$：
$$\begin{aligned}
e^{z-1}&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-1)^n}{n!} \\
\frac{1}{1+\frac{1}{z-1}}&=\sum_{n=0}^\infty\left(-\frac{1}{z-1}\right)^n
\end{aligned}$$
咨询记录 · 回答于2023-12-31
将 f(z)=e^z/(z-1) 展开成z的幂级数,并指出收敛半径
我们可以使用留数法来求解这个幂级数。
首先，我们需要确定展开点 $z_0$，在本例中，$z=1$ 是 f(z) 的一个极点，因此我们选取 $z_0=1$ 作为展开点。
然后，我们将 f(z) 展开成如下形式：
$$f(z)=\frac{e^z}{z-1}=\frac{e^{z-1}}{(z-1)+(1-1)}=\frac{e^{z-1}}{z-1}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{z-1}}$$
接下来，我们使用泰勒公式求解 $e^{z-1}$ 和 $\frac{1}{1+\frac{1}{z-1}}$：
$$\begin{aligned}
e^{z-1&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(z-1)^n}{n!} \\
\frac{1}{1+\frac{1}{z-1}}&=\sum_{n=0}^\infty\left(-\frac{1}{z-1}\right)^n
\end{aligned}$$
亲，由于发送会乱码
我图片发送给您
可以发图片吗？
欧克欧克【提问】<
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