Question

求解一道高一函数的数学题

对于函数f(x)，若存在X0∈R，使f(X0)=X0成立，则称点（X0，X0）为函数f(x)的不动点。
若对于任意的实数b，函数f(x)=ax^2+bx-b(a≠0)总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围
（注：X0 前一个是字母X，后一个是数字0 x^2 x的平方）
要答案更要过程

Answer 1

对于任意的实数b，函数f(x)=ax²+bx-b(a≠0)总有两个相异的不动点，
即对于任意的实数b，方程ax²+bx-b=x总有两个不相等的实数根.

∴方程ax²+(b-1)x-b=0(a≠0)的判别式恒大于0，
即(b-1)²+4ab>0对于任意的实数b总成立.

∴b²+2(2a-1)b+1>0恒成立，
∴4(2a-1)²-4<0，
(2a-1)² <1，
-1<2a-1<1，
0<a<1，
∴实数a的取值范围是0<a<1.

Answer 2

解：
函数f(x)=ax^2+bx-b(a≠0)、
有不动点
则ax^2+bx-b=x
有ax^2+（b-1）x-b=0
（b-1）^2+4ab>0
对于b∈R恒成立
(1)当b=0时,有ax^2=x即ax(x-1)=0,只需a≠0
（2）当b>0时,a>-4(b-1)^2/4b=-(b+1/b-2)/4
a>[-(b+1/b-2)/4]max=0
当b=1/b即b=1时，取等
（2）当b<0时，a<-(b+1/b-2)/4
a<[-(b+1/b-2)/4]min=1
当b=1/b即b=-1时取等
综上：0<a<1

貌似我想复杂了，一楼很简洁了

Answer 3

因为f(x)=ax^2+bx-b恒有相异的不动点,
所以x=ax^2+bx-b，即ax^2+(b-1)x-b=0恒有两个相异的实数根，得

(b-1)^2-4a(-b)>0,即b^2+(4a-2)b+1>0恒成立

只有(4a-2)^2-4<0才能满足

于是，解得0<a<1
故当，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为0<a<1