Question

已知抛物线y=-x^2+bx+c交y轴于点C（0，3），交X轴于点A，B，（点A在点B的左侧），其对称轴为x=1，

顶点为D如图所示。

Answer 1

(1) C(0, 3), c = 3
对称轴x = -b/(2a) = -b/[2(-1)] = b/2 = 1, b = 2
y = -x² + 2x +3＝-(x -3)(x + 1)

A(-1, 0), B(3, 0)

(2) P在AB的中垂线即抛物线的对称轴上，其横坐标为1, 令P(1, p)
P与A，C等距离，即:
(-1 - 1)² + (0 - p)² = (0 - 1)² + (3 - p)²

p = 1
P(1, 1)

(3) D(1, 4)
CD的斜率为k = (4 - 3)/(1 - 0) = 1
BC的斜率为k' = (0 - 3)/(3 - 0) = -1
kk' = -1, ∠BCD为直角。
BC = 3√2， CD = √2

S = (1/2)BC*CD = 3

BC的方程为 y = -x + 3， 其斜率为-1, 共有三种可能：
(i) 过D作与BC平行的直线l, l与抛物线的另一交点满足要求：
l的斜率为-1, 过(1, 4), 其方程为y - 4 = -(x - 1), y = 5 - x
与抛物线联立：5 - x = -x² + 2x + 3
x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0
x = 2 (舍去x = 1, 此为点D)
M(2, 3)

(ii) 在BC的另一侧作与BC平行的直线l', 且l'及l与BC的距离相等(=CD =√2); l'与抛物线的两个交点满足要求。显然D关于BC的对称点在l'上。
因为CD与BC相互垂直，D'在过CD的直线上。
CD的方程为y = x + 3, 令D'(d, d+3), D'D的中点为C:
(d + 1)/2 = 0, d = -1 (横坐标)
(d + 3 + 4)/2 = 3, d = -1 (纵坐标)
D'(-1, 2)
l': y - 2 = -(x + 1), y = 1 - x
与抛物线联立：1 - x = -x² + 2x + 3
x² - 3x - 2 = 0
x = (3±√17)/2
M((3+√17)/2, -(1+√17)/2)或M((3-√17)/2, -(1-√17)/2)