Question

将复变函数f(z)=z-2/z方以z=0为中心1展开为幂级数

Answer 1

问：将复变函数f(z)=z-2/z方以z=0为中心1展开为幂级数

答：复变函数f(z)=z-2/z令z=x+0i，其中x为实数f(z)=z-2/z=x+0i-2/(x+0i)=x+0i-2/x，由于此时x！=0，因此有f(z)=x+0i-2/x=x-2/x=(x-2)/x由于当x→0时，y=f(z)→0，因此以z=0为中心展开为幂级数，可得f(z)=f(0)+f'(0)z+f”(0)z²/2!+…+fⁿ(0)zⁿ/n!+…即有f(z)=(-2/0)z+(-2/1)(z)²/2!+(0)(z)³/3!+(2)(z)⁴/4!+…+fⁿ(0)zⁿ/n!+…=0+(-2/1)(z)²/2!+(0)(z)³/3!+(2)(z)⁴/4!+…+fⁿ(0)zⁿ/n!

问：你好，分母是z的平方

答：好的

答：解：复变函数f(z)=z-2/z^2以z=0为中心展开幂级数∵z = 0时，f(z)没有意义∴z = 0 不在展开的范围内设z满足 |z| r (r>0)则z 可以表示为z=x+yi (x,y∈R)则f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y)将f(z)单独对x和y求偏导∂u/∂x=1-2/z^2 (-2y∂/∂x + 2x∂/∂y)∂v/∂x=-2y/z^2 (-2y∂/∂x + 2x∂/∂y)∂u/∂y=-2x/z^2 (-2y∂/∂x + 2x∂/∂y)∂v/∂y=1-2/z^2 (-2y∂/∂x + 2x∂/∂y)∴(-2y∂/∂x + 2x∂/∂y )f(z) = (1-2/z^2 )+i(-2y/z^2 )考虑形如f(z)=a0+a1z+a2z^2+a3z^3+…的函数∂f/∂z = a1+2a2z+3a3z^2+…∂^2 f/∂z^2 = 2a2+6a3z+…利用拉普拉斯变换 [(-2y∂/∂x + 2x∂/∂y )f(z)]/2πi = [1-2/z^2 ]/2πi + [(-2y/z^2 )/2πi ]→F(s)=1/(2πis)−2/(2πis-2)由拉普拉斯反变换公式得f(z) = 1/2πi ∫csF(s)exp(sz)ds=1/2πi ∫cs[1/(2πis)−2/(2πis-2)]exp(sz)ds=1/2πi ∫cs{[exp(sz)/2πi ]-[2exp(sz)/2πi (s-2)]}ds=1/2πi ∫cs[exp(sz)/2πi (1-2/(s-2))]ds令s=2+2t，记 ∫csexp(sz)/2πi ds=M(t)则f(z)=M(t)-2M/t由于M(t)是关于t的双极级数，因此M(t)=∑n=0∞bn t^n则f(z)=∑n=0∞bn t^n -2∑n=1∞bn t^(n-1)联立得即f(z)=a0+∑n=1∞（2-3n）an z^n (|z|

问：哥哥，你那里有纸笔能写下来拍照吗？下面一些有些看不懂怎么联立

答：抱歉，这边没有纸笔

问：那我抄写一遍拍给你看，你看对不对

答：好

答：对