Question

证明数域F上线性空间v的两个子空间的交集是v的子空间

Answer 1

问：证明数域F上线性空间v的两个子空间的交集是v的子空间

答：亲亲,很高兴为您解答哦设V是数域F上的线性空间，U1和U2是V的两个子空间，令W=U1∩U2。首先证明W非空。由于U1和U2都是V的子空间，因此它们都包含零向量0。因此W=U1∩U2至少包含一个向量，即0向量。接下来证明W是V的子空间。需要证明W满足三个条件：1. W包含零向量0。由上面的证明可知，W至少包含一个向量，即0向量。2. W对加法封闭。设u1,u2∈W，即u1∈U1且u2∈U2。由于U1和U2都是V的子空间，因此它们对加法和数乘都封闭。因此u1+u2∈U1且u1+u2∈U2，即u1+u2∈W。3. W对数乘封闭。设k∈F，u∈W，即u∈U1且u∈U2。由于U1和U2都是V的子空间，因此它们对数乘封闭。因此k*u∈U1且k*u∈U2，即k*u∈W。因此，W是V的子空间。证毕。

答：亲亲相关拓展：反证法：只需证明V1包含V2，或者V2包含V1即可。因为此时V1∪V2=V1（或V2），从而V含于V1或V2，只有V=V1或V=V2若不然设V中有元素a和b,a∈V1但a∉V2,b∈V2但b∉V1,则a+b∈V，所以a+b∈V1∪V2若a+b∈V1，则b=(a+b)-a∈V1矛盾。同理，a+b∈V2将导致a∈V2也矛盾。这就证明了结论。