Question

作为正项数列an其前n项之积为tn,tn=an/an-1,求证tn为等差数列

Answer 1

问：作为正项数列an其前n项之积为tn,tn=an/an-1,求证tn为等差数列

答：首先，我们可以根据题目中的条件推导出$tn$与$an$之间的关系。 题目中给出$an$的前$n$项之积为$tn$，即： $t_n = a_1 * a_2 * ... * a_n$ 又已知$tn = an / a_(n-1)$，将这个式子代入前面的等式中，可以得到： $an / a_(n-1) = a_1 * a_2 * ... * a_n$ 接下来，我们可以对上面的等式进行变形和化简。 首先，将$an$移到等式左边，可以得到： $an / a_(n-1) - a_1 * a_2 * ... * a_n = 0$ 然后，将$an$和$a_(n-1)$移到等式右边，并将$a_1 * a_2 * ... * a_n$移到等式左边，可以得到： $a_1 * a_2 * ... * a_n - a_1 * a_2 * ... * a_(n-1) = 0$ 接着，我们可以因式分解左边的表达式： $a_1 * a_2 * ... * a_(n-1) * (a_n - 1) = 0$ 由于题目中已经说明$an$为正项数列，所以$a_n > 0$，因此$a_n - 1 > 0$，那么上面的等式可以进一步化简为： $a_1 * a_2 * ... * a_(n-1) = 0$ 这意味着$a_1 * a_2 * ... * a_(n-1) = 0$，只有在$a_1, a_2, ..., a_(n-1)$中存在某一项为0时才成立。但由于题目中明确要求$an$为正项数列，所以$a_1, a_2, ..., a_(n-1)$都不能为0，因此上面的等式不成立。 因此，我们可以得出结论：$tn$不可能是等差数列。