Question

设a,b,c∈R,abc≠0,求2ab-3bc/a^2+b^2+c^2的最大值

Answer 1

问：设a,b,c∈R,abc≠0,求2ab-3bc/a^2+b^2+c^2的最大值

答：设a，b，c∈R，abc≠0，求2ab-3bc/a^2+b^2+c^2的最大值： 我们将2ab-3bc/a^2+b^2+c^2的分子分母分别配方，得到： 2ab-3bc/a^2+b^2+c^2 = 2ab(a^2+b^2+c^2) / (a^2+b^2+c^2)^2 - 3bc(a^2+b^2+c^2) / (a^2+b^2+c^2)^2 = (2a^3b+2ab^3-3abc^2) / (a^2+b^2+c^2)^2 根据均值不等式，有： 2a^3b+2ab^3 ≥ 4a^2b^2 因此，(2a^3b+2ab^3-3abc^2) / (a^2+b^2+c^2)^2 ≥ (4a^2b^2-3abc^2) / (a^2+b^2+c^2)^2 = (4ab-3c^2) / (a^2+b^2+c^2) 因此， 2ab-3bc/a^2+b^2+c^2 ≤ (4ab-3c^2) / (a^2+b^2+c^2) 由于abc≠0，因此c≠0，可以说： (4ab-3c^2) / (a^2+b^2+c^2)= 4(ab/c) - 3(c/a)^2 因此，要使2ab-3bc/a^2+b^2+c^2最大，只需使(ab/c)和(c/a)^2都最大。 由于ab和c同号，因此ab/c也是正数，我们考虑使ab/c最大，即a和b同号，且对于给定的abc，a^2+b^2最大。 由于a，b∈R，因此根据均值不等式，有： (a^2+b^2) / 2 ≥ ab^(1/2) (a^2+b^2) / 2 ≥ b^2a^(1/2) 因此，a^2+b^2 ≥ 2ab^(1/2)a^(1/3) 因此，a^2+b^2 ≥ 4(ab)^(3/4) 因此，(ab/c) = (a^4b^4/c)^(1/3) ≤ [(a^4+b^4)/4]^(1/3) / c^(1/3) 由于a^4+b^4的最大值是固定的，我们只需使c^(1/3)最小，即c最小。 因此，使ab/c最大时，a，b，c同号，a^4+b^4最大，c最小。此时，最大值为： 4(ab/c) - 3(c/a)^4= 4ab/c - 3c^(4/3)/a^(4/3)= 4(a^(8/3)+b^(8/3))/c - 3c^(4/3)/a^(4/3)≤ 4[(a^(8/3)+b^(8/3))/c + 9]

答：此时，最大值为： 4(ab/c) - 3(c/a)^2 = 4ab/c - 3c^2/a^2 = 4(a^2+b^2) / c - 3c^2 / a^2 = 4(a^2+b^2)/c + 12c^2 / (4a^2) ≤ 4[(a^2+b^2)/c + 3c^2/a^2] = 4[(a^2+b^2)/c + (c^2/a^2 + c^2/a^2 + c^2/a^2)] 根据均值不等式，有： c^2/a^2 + c^2/b^2 + c^2/c^2 ≥ 3(c/a)^(2/3) 因此， 4[(a^2+b^2)/c + (c^2/a^2 + c^2/a^2 + c^2/a^2)] ≤ 4[(a^2+b^2)/c + 3(c/a)^(2/3)] ≤ 4[(a^2+b^2)/c + 3(ab/c)^(1/3)] 由于a^2+b^2是固定的，我们只需使c最小，使(ab/c)最大，此时： 4[(a^2+b^2)/c + 3(ab/c)^(1/3)] ≤ 4[(a^2+b^2)/(abc)^(1/3) + 3(ab/c)^(1/3)] ≤ 4[2(ab)^(1/3)/(abc)^(1/3) + 3(ab/c)^(1/3)] ≤ 4[2(abc)^(1/3)/(abc)^(1/3) + 3(ab/c)^(1/3)] = 4[2 + 3(ab/c)^(1/3)] 由于(ab/c)的最大值是固定的，因此要使最大值最大，只需使(ab/c)^(1/3)=1，即ab=c，此时最大值为： 4[2 + 3(ab/c)^(1/3)] = 4[5] = 20 因此， 2ab-3bc/a^2+b^2+c^2的最大值为20，当且仅当a,b,c同号，a^2+b^2最大，ab=c。