Question

∫c(z^2-2z+1)/(z+1)^2+dz+(c:|z|=2)

Answer 1

问：∫c(z^2-2z+1)/(z+1)^2+dz+(c:|z|=2)

答：您好，这是一道求解复变函数线积分的题目。∫c(z^2-2z+1)/(z+1)^2+dz表示沿着一条曲线c从起点到终点的复变函数线积分。括号内的多项式是被积函数，dz表示在积分路径上的微小位移。路径c是一个封闭曲线，起点和终点重合，因此也称为回路。此外，题目还指定了路径c是圆心在原点，半径为2的圆，即|z|=2。这个条件称为积分路径的给定方式，决定了路径的形状和位置。求解这道题需要掌握复变函数线积分的相关概念和计算方法，包括积分路径的参数方程、积分路径上的复变函数表达式、积分路径上的微元长度、积分路径的有效性等。在计算过程中，还需要运用复函数的导数和共轭等性质，以及分段函数的积分方法等。复变函数线积分是复变函数论中的重要部分，它在数学、物理、工程等领域都有广泛应用。其中，Cauchy定理和Cauchy公式是复变函数线积分的核心理论，它们表明了复函数的积分与其解析性质之间的密切关系。因此，熟练掌握复变函数线积分的求解方法，对于理解和应用复变函数论有着重要的作用。

答：首先，我们考虑裂项法将被积函数变形为：$\dfrac{z^2-2z+1}{(z+1)^2}=\dfrac{A}{z+1}+\dfrac{B}{(z+1)^2}$解得 $A=-1$，$B=1$，所以原式化为：$\int_{|z|=2}\dfrac{-1}{z+1}\,dz+\int_{|z|=2}\dfrac{1}{(z+1)^2}\,dz=-2\pi i+\dfrac{d}{dz}(z+1)^{-1}\Big|_{z=-1}$其中第一项用到了留数定理，第二项使用了柯西积分定理。计算得：$\int_{|z|=2}\dfrac{-1}{z+1}\,dz=-2\pi i$$\int_{|z|=2}\dfrac{1}{(z+1)^2}\,dz=2\pi i$$\dfrac{d}{dz}(z+1)^{-1}\Big|_{z=-1}=-1$因此，原式等于 $-2\pi i - (-1) = -\pi i$。