Question

设A为n阶方矩阵,行列式a=2,若A有特征值a,则A的伴随矩阵必有特征值为

Answer 1

问：设A为n阶方矩阵,行列式a=2,若A有特征值a,则A的伴随矩阵必有特征值为

答：根据伴随矩阵的定义，设A的伴随矩阵为A*，则有：A * = |A11 A21 ... A(n-1)1 a1| |A12 A22 ... A(n-1)2 a2| |... ... ... ... ...| |A1(n-1) A2(n-1) ... A(n-1)(n-1) a(n-1)| |A1n A2n ... A(n-1)n an|其中，Aij表示A的第i行第j列的代数余子式，ai为A的第i行乘以(-1)^(i+j)之后的行列式值。根据矩阵行列式的性质，有：|A*| = |A|^(n-1)由于A的行列式为a=2，代入上式得到：|A*| = 2^(n-1)又因为A有特征值a，所以有：|A - aI| = 0其中，I为n阶单位矩阵。两边同时取行列式，得到：|A - aI| = 0⇒ |A - aI|^T = 0⇒ |(A - aI)^T| = 0⇒ |A^T - aI^T| = 0⇒ |A^T - aI| = 0所以A的转置矩阵A^T也具有特征值a。由于伴随矩阵A*是A的代数余子式构成的矩阵的转置，所以A*也具有与A一样的特征值，即A*也有特征值a。