Question

线性方程组的基础解系

Answer 1

问：线性方程组的基础解系

答：线性方程组的基础解系是一个向量组，可以通过这个向量组的线性组合得到方程组的所有解，且该向量组中任意一个向量与其它向量线性无关。 设线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 的增广矩阵为 $\left[\begin{array}{c|c}\mathbf{A} & \mathbf{b}\end{array}\right]$ 并将增广矩阵化为行阶梯形。则： 基础变量是列主元所在的列对应的未知量。 非基础变量是不含列主元的列对应的未知量。 满足以下条件的列主元所在的列对应的未知量是基础变量： - 列主元为1 - 在列主元上方的所有元素都为0 此时，在非基础变量的值确定的情况下，可通过回代求出基础变量的值，从而得到方程组的一个解。 将每个非基础变量取一个自由变量（即取任意一个非零实数），根据“非基础变量 = 系数 × 基础变量”的关系式，构造基础解系，即 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的所有特解向量。