Question

求积分z×sin1/z²dz的值.|z|=1

Answer 1

问：求积分z×sin1/z²dz的值.|z|=1

答：您好，∮z×sin(1/z²)dz = 0

答：给您附一个解题过程

答：1、注意到sin(1/z²)在z=0处有一个奇点，但它是可去奇点，因为sin(1/z²)在z=0附近是解析的。因此，我们只需要考虑边界上的积分。考虑参数化z=e^(iθ)，其中θ是从0到2π的参数。然后，dz=i·e^(iθ)dθ。将参数化后的表达式代入积分，得：∮z×sin(1/z²)dz = ∮e^(iθ)×sin(1/(e^(iθ))²)×i·e^(iθ)dθ= i∮e^(2iθ)×sin(e^(-2iθ))dθ

答：使用欧拉公式，可以将e^(-2iθ)表示为cos(2θ) - i·sin(2θ)，并将sin(e^(-2iθ))展开：sin(e^(-2iθ)) = sin(cos(2θ) - i·sin(2θ))= sin(cos(2θ))·cos(i·sin(2θ)) - cos(cos(2θ))·sin(i·sin(2θ))= sin(cos(2θ))·cosh(sin(2θ)) - cos(cos(2θ))·sinh(sin(2θ))

答：将这个展开式代入原始积分，得到：∮z×sin(1/z²)dz = i∮e^(2iθ)×[sin(cos(2θ))·cosh(sin(2θ)) - cos(cos(2θ))·sinh(sin(2θ))]dθ

答：现在我们需要计算这个积分。注意到e^(2iθ)在一个完整的圆周上是周期性的，所以这个积分可以分解为相同的积分在整个圆周上的总和。因此，我们可以将θ的范围从0到2π扩展到整个实数轴上的积分：∮z×sin(1/z²)dz = i∫(-∞)^(∞)e^(2iθ)×[sin(cos(2θ))·cosh(sin(2θ)) - cos(cos(2θ))·sinh(sin(2θ))]dθ现在，我们可以根据函数的奇偶性来简化这个积分。观察到sin和cosh是奇函数，而cos和sinh是偶函数。

答：由于sin(cos(2θ))和cosh(sin(2θ))都是奇函数，而cos(cos(2θ))和sinh(sin(2θ))都是偶函数，所以整个被积函数是奇函数。奇函数的积分在对称区间上的值是0，因此我们得到：∮z×sin(1/z²)dz = 0因此，积分∮z×sin(1/z²)dz的值为0。