证明:若a1=根号2,an+1=根号(2an),n=1,2,…,则数列{an}收敛,并求其极限。

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摘要 证明:若a1=根号2,an+1=根号(2an),n=1,2,…,则数列{an}收敛,极限是2。
显然an>0 则a(n+1)^2-an=2an-an=an>0 即a(n+1)>an 则an单调递增,下面用数学归纳法证明an有上界即an<2。当n=1时,a1<2显然成立,假设当n=k时,ak<2成立,则当n=k+1时,a(k+1)=√2ak<√4=2 也成立。
咨询记录 · 回答于2021-11-01
证明:若a1=根号2,an+1=根号(2an),n=1,2,…,则数列{an}收敛,并求其极限。
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证明:若a1=根号2,an+1=根号(2an),n=1,2,…,则数列{an}收敛,极限是2。显然an>0 则a(n+1)^2-an=2an-an=an>0 即a(n+1)>an 则an单调递增,下面用数学归纳法证明an有上界即an<2。当n=1时,a1<2显然成立,假设当n=k时,ak<2成立,则当n=k+1时,a(k+1)=√2ak<√4=2 也成立。
综上所述,an<2成立,根据数列单调递增且有上界,故数列收敛,则lima(n+1)=liman,则lima(n+1)=lim√2an=liman 解得liman=2,故其极限为2。再由 a1a1^2a2>a1,其中由此通过数学归纳法得到an递增,即数列单调。
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