Question

矩阵B为线性方程组Ax=b的增广矩阵,则A、B的秩的关系为

Answer 1

问：矩阵B为线性方程组Ax=b的增广矩阵,则A、B的秩的关系为

答：假设矩阵 A 的秩为 r，则有：1.如果 b 是 Ax=b 线性方程组的解，则矩阵 B 的秩为 r。因为矩阵 B 是 A 的增广矩阵，它除了在最后一列加上 b 之外，其余部分都与 A 相同。由于 b 是 Ax=b 的解，意味着 A 和 b 在同一空间内，因此矩阵 A 和 B 在同一空间内，即 A 和 B 的秩相等。2.如果 b 不是 Ax=b 线性方程组的解，则矩阵 B 的秩大于 r。因为矩阵 B 是 A 的增广矩阵，它除了在最后一列加上 b 之外，其余部分都与 A 相同。但是 b 不是 Ax=b 的解，意味着 b 不在 A 所在的空间内，因此矩阵 B 不在 A 所在的空间内。因此，B 的秩比 A 的秩大。因此，A 和 B 的秩之间的关系取决于 b 是否是 Ax=b 线性方程组的解。