基础数学问题解答
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常数的导数是0
咨询记录 · 回答于2022-10-21
基础数学问题解答
求f(x)=c(常数）的导数
求f(x)=3x+2的导数
求f(x)=x^2+3的导数
求f(x)=x^3+2x+1的导数
求f(x)=根号x; f(x)=1/x的导数
谢谢
常数的导数是0
有没有就是具体的过程
因为有些题我知道答案但是写不出来过程
嗯，导数就是函数切线的斜率，然后这个常数的切线就是它本身，斜率是零
好
常数的导数是零就是可以这么推出来的
然后需要用到一个公式，就是x^a的导数是ax^(a-1)
这个公式的推导是要用到导数的定义f'(x)=lim(f(x+h)-f(x))/h，极限是对h趋于零
嗯对
有这个公式的话这些题就都可以解决了
∫b a x^2dx 解
这个定积分只能这么打
b在上a在下
嗯嗯，百度估计月底才可以发图片
哈哈好
解定积分的话，需要莱布尼茨公式
这是什么公式
f(x)从a到b的积分，就是F(a)-F(b)
F(x)的导数是f(x)
OK
所以要求x^2从a到b的定积分，需要知道谁的导数是x^2
这个F(x)=(x^3)/3
嗯？
这是怎么回事
因为使用刚才的公式的话，x^a的导数是ax^(a-1)
所以x^3的导数是3x^2
两边同时除以3，就是(x^3)/3的导数是x^2
不不不我还有点不太明白
哪儿不太明白
因为使用刚才的公式的话，x^a的导数是ax^(a-1)
这块
不太明白这个公式怎么来的是么
对
首先导数的定义f'(x)=lim（h→0）(f(x+h)-f(x))/h
en
嗯
如果说f(x)=x^a
那么右边这个分式就会变成((x+h)^a-x^a)/h
那么重点就在于对(x+h)^a进行展开，让它变成多项式
你可以仔细想一下，比如两个(x+h)相乘
只看前两项，是x^2+2xh
对
三个的话，前两项是x^3+3x^2h
四个的话，是x^4+4x^3h
对对对
那么可以发现一个规律，就是a个相乘的话，前两个是x^a+ax^(a-1)h
((x+h)^a-x^a)/h就可以写成(ax^(a-1)h)/h=ax^(a-1)
哦哦哦哦哦
我懂了
你可以想一下为什么只考虑前两项就可以了
因为h的次数高了，除以h之后还会剩下h，但是极限是h趋于0，也会被消掉
对
咱就没什么必要写出来了
我就是这么想的
嗯嗯，有这个公式后，就可以知道谁的导数是x^2了
是不是2x
不是
2x是x^2的导数
嗯
但是需要的是导数为x^2的函数
哦OK
这是定积分吗
f(x)从a到b的积分，就是F(a)-F(b)，F(x)的导数是f(x)
嗯嗯，这是求定积分需要做的事情
OK
那然后怎么做
那么刚才那个题f(x)=x^2
F(x)就是x^3/3
为什么
完了
哈哈哈，不用着急
首先可以知道x^3的导数是3x^2
对
然后就是两边同时除以3
因为f(x)除以一个常数的导数，就是f'(x)除以相同的常数
为什么要同时除以三
因为对于函数来说，比如它放大或缩小5倍，那么对应切线的斜率也会放大或缩小5倍
因为f(x)=x^2，但是x^3的导数是3x^2,要想办法消掉前边的3
就是
哪来的x^3
我快要窒息了
因为如果使用莱布尼茨公式求定积分，就要求出f(x)对应的F(x)
哦哦哦哦哦哦哦哦
是不是这个
定积分b a x^ndx=x^n+1 /n+1 |b a
公式
没事
就是我知道了F（x）
您继续
嗯嗯，算出F(x)=x^3/3之后，使用莱布尼茨公式，定积分的结果就是F(b)-F(a)
(b^3-a^3)/3
刚才说错了，f(x)从a到b的积分，就是F(b)-F(a)
没有就是b到a
哦哦，那就是(a^3-b^3)/3
上边减下边
?
这是怎么带到b^3-a^3的？
就是F(a)-F(b)，a是积分上限，b是积分下限
就是积分号上边减积分号下边的
是从下面到上面是吗
那因该是我说错了
嗯嗯，对的
不好意思
你的题是b在上a再下
对
所以是(b^3-a^3)/3
嗯嗯，上边的减去下边的
嗯
然后呢
然后这个定积分的结果就是(b^3-a^3)/3
冥冥之中我明白了
OK
嗯嗯，记住这个莱布尼茨公式
您能继续帮我解一下刚看是的几个微分方程吗
求定积分按照步骤来就可以
您教的太仔细了
嗯嗯，可以的
哪些微分方程
求f(x)=3x+2的导数
求f(x)=x^2+3的导数
求f(x)=x^3+2x+1的导数
求f(x)=根号x; f(x)=1/x的导数
奥奥，求导的这几个题
对对对
前三个是f'(x)=3f'(x)=2xf'(x)=3x^2+2
第四个是x的二分之一次方
用公式，导数是1/2乘x的负二分之一次方
也就是1/(2√x)
最后一个是x的-1次方
用公式是-1/x^2
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