Question

已知函数 f(x)=1-a/4x^2+(1-a/2)x+lnx f(x)有两个零点，求a的最大值

Answer 1

问：已知函数 f(x)=1-a/4x^2+(1-a/2)x+lnx f(x)有两个零点，求a的最大值

问：

答：已知函数 flx)=1-a/4x*+(1-a/2)x+Inx,f(x)有两个零点，求a的最大值。因为 f(x)有两个零点，所以方程 f(x)=0 有两个不同的实数根 xi1和 X2。根据韦达定理，有 x1 + X2 = a/(1-a)和 x1 X2= 1/4。同时，因为 In x 的定义域为 x>0，所以x1>O 且 x2>0。现在我们要求 a的最大值，即要求当 a 取最大值时，方程 f(x)=0 有两个不同的实数根。由 x1 X2 = 1/4 可得 xi + xz = a/(1-a)≥ 2√(x1x2),即 a/(1-a)≥ 1/√2。化简可得a≥(1/v/2)-1。

答：所以a的最大值是1/根号2-1

问：可以用导数方面的知识吗

答：设函数f(x)=1-a/4x^2+(1-a/2)x+lnx，则f(x)的导函数为：f'(x) = -a/2x + (1-a/2)/x令f'(x) = 0，解得 x = a/(2-a)，注意此时x必须是正数，即a/(2-a) > 0，即0 < a < 2。将x = a/(2-a) 代入原函数f(x)，可得：f(a/(2-a)) = 1 - a/4(a/(2-a))^2 + (1-a/2)(a/(2-a)) + ln(a/(2-a))= 1 - a/(4-a^2) + (2-a)/(4-2a) + ln(a/(2-a))= (4 - 3a - a^2 + 2a ln(a/(2-a))) / (4 - 2a)由于f(x)有两个零点，则f(x)在这两个零点处取到零值，即：f(x1) = 0，f(x2) = 0

答：则 f(x) 的导数为：f'(x) = -a/2x + (1 - a/2) + 1/x因为 f(x) 有两个零点，所以 f'(x) 必须有两个相等的根，即：-a/2x + (1 - a/2) + 1/x = k，其中 k 是常数。移项并化简可得：a = 2(x^2 - kx + 1) / x^2

答：由于 f(x) 的零点是正实数，所以 f'(x) 的根也是正实数。因此，k > 0。根据 AM-GM 不等式，我们有：x + (1/k) >= 2 * sqrt(x / k)因此，对于任何正实数 x 和 k，都有：x^2 / (x + (1/k))^2 <= x^2 / (4x / k) = kx / 4将上述不等式代入上式，得：a <= 8k

答：由于 k > 0，所以 a 的最大值为 8k，其中 k 的最大值为 2，当且仅当 f'(x) 的两个相等的根为 sqrt(2) 时取得。因此，a 的最大值为 16，当且仅当函数 f(x) 的两个零点为 x1 = x2 = sqrt(2) 时取得