Question

设+f(x)=1x,+证明广义积分+∫01f(x)dx+收敛,但不能用极限+limλ→0∑i=

Answer 1

问：设+f(x)=1x,+证明广义积分+∫01f(x)dx+收敛,但不能用极限+limλ→0∑i=

问：是这个

答：设+f(x)=1x,+证明广义积分+∫01f(x)dx+收敛,但不能用极限+limλ→0∑i=首先，我们注意到在区间[0,1]上，f(x)满足以下性质：1. f(x)在[0,1]上连续；2. 对于任意的x∈(0,1]，f(x)的值都是有限的。因此，我们可以将[0,1]分为n个小区间，每个小区间的长度为1/n，然后在每个小区间上取一个点xi，i=1,2,...,n。这样，我们就可以将广义积分∫01f(x)dx表示为一个Riemann和：∫01f(x)dx=limn→∞∑i=1nf(xi)/n由于对于任意的x∈(0,1]，f(x)的值都是有限的，因此可以得到∣f(xi)∣≤1/xi，进而得到：∣f(xi)/xi∣≤1/xi2于是，我们可以将Riemann和中的每一项都限制在1/xi2以下，得到：∣∣∣f(xi)ni∣∣∣≤1ni2因此，Riemann和的绝对值可以被限制在以下形式：∣∣∣∑i=1nf(xi)ni∣∣∣≤∑i=1n1ni2这个级数是一个已知的调和级数，是收敛的。因此，由比较判别法可知，原广义积分收敛。

问：是那个图片的题，之前发错了

问：求域ρ≤1与 p²≤2cos2θ的公共部分在第一象限部分的面积.Soln.联立 {ρ=1ρ2=2cos⁡2θ, 得交点 {ρ0=1θ0=π6 A=12∫0π6dθ+12∫π6π22cos⁡2θdθ=π12+sin⁡2θ2|π2π6π12−34.因此，面积对上述错解进行剖析，指出错在哪里?并给出正确解法.

答：求域ρ≤1与 p²≤2cos2θ的公共部分在第一象限部分的面积.Soln.联立 {ρ=1ρ2=2cos⁡2θ, 得交点 {ρ0=1θ0=π6 A=12∫0π6dθ+12∫π6π22cos⁡2θdθ=π12+sin⁡2θ2|π2π6π12−34.因此，面积对上述错解进行剖析，指出错在哪里?并给出正确解法.该解法的错误在于没有考虑到公共部分在第一象限部分的限制条件。在第一象限部分，$\theta$ 的取值范围应该是 $[0,\frac{\pi}{2}]$。因此，正确的解法应该是：联立 $\rho\leq1$ 和 $p^2\leq2\cos2\theta$，得到交点为 $\rho_0=1$，$\theta_0=\frac{\pi}{6}$。由于要求在第一象限部分的面积，因此 $\theta$ 的积分区间应该是 $[0,\frac{\pi}{6}]$。于是，公共部分的面积为：$$\begin{aligned}A &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\int_{0}^{1} \rho d\rho d\theta \\&= \frac{

问：字符看不清，可以写在纸上吗？

答：纸上我没有