Question

4设 z^3+3xz+3y=1, 求:zxy(0,0)

Answer 1

问：4设 z^3+3xz+3y=1, 求:zxy(0,0)

答：亲亲,很高兴为您解答哦首先，求出z在(0,0)处的值。将x=y=0代入原方程可得z^3=1，因此z=1。接下来，我们需要求出x和y的偏导数。对原方程两边同时对x求偏导数，得到：3z^2 + 3z(dx/dt) + 3x(dz/dt) = 0在(0,0)处，代入z=1和x=y=0，可得：3 + 0 + 0 = 0因此，dx/dt在(0,0)处等于-1。同理，对原方程两边同时对y求偏导数，得到：3z^2 + 3z(dy/dt) + 3y(dz/dt) = 0在(0,0)处，代入z=1和x=y=0，可得：3 + 0 + 0 = 0因此，dy/dt在(0,0)处等于-1。最后，根据隐函数求导公式，可得：zxy = -(dz/dt)/(dx/dt)(dy/dt)在(0,0)处，代入dz/dt=0，dx/dt=-1，dy/dt=-1，可得：zxy(0,0) = -0/(-1)(-1) = 0因此，zxy在(0,0)处等于0。

答：亲亲相关拓展：偏导数是对多个自变量中的一个进行求导，而导数可以分为一元导数和多元导数。如果是一元导数，即只有一个自变量，导数只有一个，此时的导数和偏导数没有区别。在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。