设为31的矩阵,满足 a^Ta=2 ,设A=E-kaa^T ,k0,若 A^(-1)=A ,则k=1
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亲亲，很高兴为您解答哦
:设为31的矩阵,满足 a^Ta=2 ,设A=E-kaa^T ,k0,若 A^(-1)=A ,则k=1首先我们可以看出 $a$ 是一个列向量，并且满足 $\|a\|^2 = a^T a = 2$，即 $a$ 的范数的平方为 $2$。设 $A = E - ka a^T$，其中 $E$ 表示单位矩阵。那么我们有：$$\begin{aligned}A^{-1} &= (E - ka a^T)^{-1} \\&= E + k \frac{a a^T}{1 - ka^T a} \quad \text{(公式}\ (\mathrm{A}35) \text{)} \\\end{aligned}$$由于 $A^{-1} = A$，所以我们有：$$A^2 = E - ka a^T E - ka a^T = E - 2ka a^T$$又因为 $a^T a = 2$，所以我们可以将$A^2$ 进一步化简为：$$A^2 = E - 2ka a^T = (1 - 2k) E$$
咨询记录 · 回答于2023-04-12
设为31的矩阵,满足 a^Ta=2 ,设A=E-kaa^T ,k0,若 A^(-1)=A ,则k=1
亲亲，很高兴为您解答哦:设为31的矩阵,满足 a^Ta=2 ,设A=E-kaa^T ,k0,若 A^(-1)=A ,则k=1首先我们可以看出 $a$ 是一个列向量，并且满足 $\|a\|^2 = a^T a = 2$，即 $a$ 的范数的平方为 $2$。设 $A = E - ka a^T$，其中 $E$ 表示单位矩阵。那么我们有：$$\begin{aligned}A^{-1} &= (E - ka a^T)^{-1} \\&= E + k \frac{a a^T}{1 - ka^T a} \quad \text{(公式}\ (\mathrm{A}35) \text{)} \\\end{aligned}$$由于 $A^{-1} = A$，所以我们有：$$A^2 = E - ka a^T E - ka a^T = E - 2ka a^T$$又因为 $a^T a = 2$，所以我们可以将$A^2$ 进一步化简为：$$A^2 = E - 2ka a^T = (1 - 2k) E$$
亲亲，拓展如下，根据题意，$k > 0$，因此 $1 - 2k$ 必须小于 $0$，即：$$1 - 2k 0 \quad \Rightarrow \quad k > \frac{1}{2}$$又因为 $A^2 = (1 - 2k) E$，所以 $A^2$ 和 $E$ 具有相同的特征值，即 $\lambda_1 = 1 - 2k$ 和 $\lambda_2 = 1$。由于 $A$ 是可逆的，所以 $0$ 不是 $A$ 的特征值。因此我们可以将 $A$ 写成：$$A = Q \begin{pmatrix}1 - 2k & 0 \\0 & 1\end{pmatrix} Q^{-1}$$其中 $Q$ 是一个单位ary矩阵。由于 $A$ 非奇异，所以其特征值 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 均非零。因此，要使得 $A$ 可逆，则必须满足：$(1 - 2k) \cdot 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{2}$$综上所述，当 $k = \frac{1}{2}$ 时，$A$ 满足 $A^{-1} = A$。
亲，图片该题选择C哦
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