Question

球面坐标系中三重积分交换积分次序,上下限会变吗，如果不会变，为什么直角坐标系中交换积分次序，上下限就会变

Answer 1

问：球面坐标系中三重积分交换积分次序,上下限会变吗，如果不会变，为什么直角坐标系中交换积分次序，上下限就会变

答：亲，您好。 在球面坐标系中进行三重积分时，交换积分次序上下限一般**不会**发生变化。这是因为球面坐标系下的积分区域是由两个角度和一个半径限定的，这些限制不随着积分次序的变化而改变，所以积分的上下限也不会发生变化。 然而，在直角坐标系中，交换积分次序时上下限可能会发生变化。这是因为在直角坐标系中，积分限制条件可能包含了多个变量。当这些变量在不同的积分次序下可能会产生不同的限制条件，从而导致积分上下限发生变化。 因此，如果要交换积分次序，必须仔细考虑积分区域的限制条件。

问：可是如果这个半径是关于两个角度的函数呢？这不也包含了多个变量吗

答：亲，您说的对。如果半径是关于多个变量的函数，其中包含两个角度，那么这个函数的表达式将会是： r = f(θ1, θ2) 其中，r表示半径，θ1和θ2表示两个角度。这样的函数被称为多元函数，因为它依赖于多个变量。 在这种情况下，我们可以使用偏导数的概念来计算相对于其中一个变量的变化率，而将其他的变量视为常数。实际上，对于多元函数，每个变量的偏导数可以将函数在给定点的斜率表示为变量的变化率。 例如，对于函数r = f(θ1, θ2)，其相对于θ1的偏导数可以表示为： "r / "θ1 = ("f / "θ1) * ("r / "f) 其中，"f / "θ1表示在θ1保持不变的情况下，f关于θ1的变化率，"r / "f表示在f保持不变的情况下，r关于f的变化率。类似地，可以计算相对于θ2的偏导数，也可以计算其他组合的偏导数。

问：？什么鬼

答：球面坐标系中三重积分交换积分次序，上下限不会变。球面坐标系中的积分只与角度有关，上下限是固定的，不会随着变量的变化而变化。而直角坐标系中的积分是关于多个变量的，当变量变化时，上下限也会变化。