Question

求微分方程y’=xe’.√1-y2次的通解

Answer 1

问：求微分方程y’=xe’.√1-y2次的通解

答：您的问题如下：这是一个一阶常微分方程，可以使用变量分离法来求解。首先将方程中的 $\sqrt{1-y^2}$ 移项，得到：$$\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=x\frac{de^x}{dx}dx$$对 $\frac{de^x}{dx}$ 进行求导，得到 $\frac{de^x}{dx}=e^x$。将其代入上式，化简得：$$\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\int xe^xdx+C$$

答：对左侧积分进行换元，令 $y=\sin u$，则有 $dy=\cos u du$，代入得：$$\int\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}=\int\frac{\cos u}{\sqrt{1-\sin^2u}}du=\int du=u+C_1$$对右侧积分进行分部积分，设 $u=x, dv=e^xdx$，则 $du=dx, v=e^x$，代入得：$$\int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C_2$$将两边的积分结果带回原方程，得到通解：$$\sin^{-1} y = xe^x - e^x + C$$其中 $C=C_1+C_2$ 为常数。