Question

任一秩为r的矩阵可以表为r个秩为2的矩阵和吗

Answer 1

问：任一秩为r的矩阵可以表为r个秩为2的矩阵和吗

问：没有，就这些

答：是的，任何秩为r的矩阵都可以表示为r个秩为2的矩阵之和。这是因为，任何矩阵都可以通过将其列向量组合成线性组合的方式来表示。由于矩阵的秩是其列向量的秩，因此任何秩为r的矩阵都可以表示为r个列向量的线性组合。我们可以将每个列向量表示为两个向量的线性组合，例如 a = u + v，其中 u 和 v 都是秩为2的向量。因此，我们可以将原始矩阵表示为r个秩为2的矩阵之和，每个矩阵都由两个列向量的线性组合构成。具体地，假设 A 是一个m × n的矩阵，其列向量为a1, a2, ..., an。我们可以找到两个秩为2的向量 u1 和 v1，使得 a1 = u1 + v1。同样地，我们可以找到秩为2的向量 u2 和 v2，使得 a2 = u2 + v2，以此类推。然后我们可以将矩阵 A 表示为以下形式的线性组合：A = u1 [v1 v2 ... vn] + v1 [u1 0 ... 0] + u2 [0 u2 0 ... 0] + v2 [0 v2 0 ... 0] + ... + ur [0 ... 0 ur]因此，我们可以将任何秩为r的矩阵表示为r个秩为2的矩阵之和。