Question

设（A,*）是代数系统，*是A上的二元运算,,有a*b=a。问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。（如果不满足结合律和交换律，写出反例，满足结合律和交换律则给出正明过程）

Answer 1

问：设（A,*）是代数系统，*是A上的二元运算,,有a*b=a。问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。（如果不满足结合律和交换律，写出反例，满足结合律和交换律则给出正明过程）

答：根据题意，对于任意元素 a, b, c 属于集合 A，有 a*b = a。首先考虑结合律。设 a, b, c 是任意 A 中的元素，则：(ab)c = ac （因为ab=a）a*(bc) = ac （同上）因此，对于这个代数系统中的任意元素，* 运算符都满足结合律。接着考虑交换律。设 a, b 是任意 A 中的元素，则：a*b = ab*a = b因此，对于这个代数系统中的任意元素，* 运算符都满足交换律。

问：设（A,*）是代数系统，*是A上的二元运算,,有a*b=a。问是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。（如果不满足结合律和交换律，写出反例，满足结合律和交换律则给出正明过程）

问：幺元，零元，逆元呢？

答：根据题意，对于任意元素 a, b, c 属于集合 A，有 a*b = a。首先考虑结合律。设 a, b, c 是任意 A 中的元素，则：(ab)c = ac （因为ab=a）a*(bc) = ac （同上）因此，对于这个代数系统中的任意元素，* 运算符都满足结合律。接着考虑交换律。设 a, b 是任意 A 中的元素，则：a*b = ab*a = b因此，对于这个代数系统中的任意元素，* 运算符不一定满足交换律。然后考虑是否存在幺元和零元。由于 * 运算符对于任何元素都等于自身，因此不存在不等于零元的元素 e 满足 xe = x 或者 ex = x，因此该代数系统不存在幺元和零元。最后考虑逆元。对于任意元素 a 属于集合 A，其逆元满足 a * b = b * a = e，其中 e 为该代数系统的幺元（如果存在）。由于该代数系统不存在幺元，因此任何元素都没有逆元。综上所述，这个代数系统中的 * 运算符满足结合律，但不满足交换律，同时不存在幺元、零元和逆元。