Question

x^3+2x^2-x+1因式分解

Answer 1

问：x^3+2x^2-x+1因式分解

答：您好，很高兴为您解答可以用因式定理对多项式进行因式分解。首先，根据因式定理，我们可以猜测该多项式有 $x-1$ 这个因子。应用因式定理：$$\begin{aligned}x^3+2x^2-x+1 &=(x-1)(x^2+3x+1)+2 \\&=(x-1)[(x+\frac{3}{2})^2-\frac{5}{4}]+2 \\&=(x-1)(x+\frac{3}{2})^2-\frac{3}{4}\end{aligned}$$因此，多项式 $x^3+2x^2-x+1$ 可以被因式分解为 $(x-1)(x+\frac{3}{2})^2-\frac{3}{4}$。

问：看不明白

答：亲亲拓展：首先，我们可以尝试用因式定理来解题。因式定理指：如果多项式P(a)能够被(x-a)整除，则P(a)可以表示为P(a) = (x-a)Q(x)，其中Q(x)是一个次数比P(x)低1的多项式。根据因式定理，我们得知：x^3+2x^2-x+1中，如果有因子x-a，则a必须是P(x)的因数。因此，我们可以检验a=1是否为P(x)的因数。将1代入P(x)得：P(1) = 1^3 + 2(1)^2 - 1 + 1 = 3由于P(1)不等于0，因此x-1不是P(x)的因子。接下来，我们可以用其他因式分解方法来解题。将x^3+2x^2-x+1按照降幂排列，得到：x^3+2x^2-x+1 = x^3+x^2+x^2+2x+(-x+1)可以看出，x^3+x^2和-x+1是可以分别合并的，得到：x^3+2x^2-x+1 = x^2(x+1)+x+1(x-1)进一步简化可得：x^3+2x^2-x+1 = (x+1)(x^2+1) + (x-1)因此，x^3+2x^2-x+1的因式分解式为： (x+1)(x^2+1) + (x-1)。