Question

当x→0时,lim[ln(1-2x)+xf(x)]/x^2=4,求lim[f(x-2)]/x =要求详细解释

.如果 我分子分母同除以x 会得到lim[ln(1-2x)/x+f(x)]/x 再利用等价无穷小代换可得结论 lim[f(x-2)]/x=4 为什么错 （答案是6）

Answer 1

你那样做错是因为处于加减位置的无穷小量不能直接用等价无穷小量，那样相当于把它们拆开了，默认了它们分别有极限，就像这个题，你那样做默认了lim[ln(1-2x)/x]/x和limf(x)/x都存在，实际上前者不存在。例如x趋近于0时，lim（tanx-sinx)/(sinx)^3=limtanx(1-cosx)/(sinx)^3=1/2如果用你那种方法相当于这样做lim（tanx-sinx)/(sinx)^3=lim（x-x)/(sinx)^3=0,显然不对
至于这个题，我觉得刚那个人已经做出来了，我没其他方法。
仅供参考，谢谢。

Answer 2

答案：6解法：lim_{x→0}{x[f(x)-2]+2x+ln(1-2x)}/x^2=lim_{x→0}{x[f(x)-2]}/x^2+lim_{x→0}{2x+ln(1-2x)}/x^2=4,

又lim_{x→0}{2x+ln(1-2x)}/x^2=lim_{x→0}{2x+ln(1-2x)}'/[x^2]'=lim_{x→0}{2-2/(1-2x)}/2x=lim_{x→0}

{1-1/(1-2x)}/x=lim_{x→0}{-2/(1-2x)}=-2，所以所求的极限为6

追问

我想的为什么错