Question

解空间的维数与秩的关系是什么?

Answer 1

问：解空间的维数与秩的关系是什么?

答：向量的维数和秩无关，维数之和向量本身有关，但是秩总是小于等于维数。秩是向量组的最大线性无关组的容量，维是其每个向量的分量个数。例如向量组A＝｛（x1,x2,x3）|x1＝x2＝x,x3＝y.x,y∈R｝。则A的秩＝2 ，[｛（1,1,0）,（0,0,1）｝是它的一个最大线性无关组]。A的维数是3。

答：矩阵的秩有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

问：线性方程组中维数是否总是等于秩数？

答：向量的维数和秩无关维数之和向量本身有关,但是秩总是小于等于维数.

答：1、矩阵的维数和矩阵的秩两者范围不同：维度，是数学中独立参数的数目；而秩表示的是其生成的子空间的维度。如果还考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目。2、矩阵的维数和矩阵的秩两者用途不同：“点基于点是0维、点基于直线是1维、点基于平面是2维、点基于体是3维”。再进一步解释，在点上描述（定位）一个点就是点本身，不需要参数；在直线上描述（定位）一个点，需要1个参数（坐标值）。 在平面上描述（定位）一个点，需要2个参数（坐标值）；在体上描述（定位）一个点，需要3个参数（坐标值）。 而矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。

答：3、矩阵的维数和矩阵的秩两者对应关系不同：矩阵的维数没有固定的对应关系。 而对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的 线性映射f，都存在矩阵A使得 f= fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵 A的秩还可定义为fA的像的维度。矩阵 A称为 fA的变换矩阵。